82. Случай одного переменного.

При исследовании случая одного переменного мы будем исходить от функции точки и рассматривать простейший случай непрерывных функций. Для краткости письма будем пользоваться следующим обозначением: если А — некоторый промежуток , то символом будем обозначать разность . Пусть неубывающая непрерывная на конечном промежутке функция и вещественная непрерывная на этом промежутке функция, обладающая тем свойством, что если . Пусть — некоторое разбиение промежутка на конечное число частичных промежутков и

Слагаемые, имеющие вид считаются равными нулю. Эта сумма не убывает при добавлении новых точек деления [78]. Мы пользуемся разбиением только на промежутки и должны будем приводить доказательства теорем, аналогичных тем, которые имели при разбиении на множества, измеримые относительно .

Теорема . Для ограниченности множества значений сумм необходимо и достаточно, чтобы существовала такая неубывающая ограниченная на функция что для любого промежутка из выполняется неравенство,

Если это условие выполнено, то слагаемые суммы не превышают и для любого разбиения имеем

Докажем теперь необходимость (128). Если суммы ограничены для всего промежутка , то тем более они ограничены и для любого частичного промежутка. Обозначим через точную верхнюю границу для промежутка для промежутка

Совершенно так же, как мы доказывали аддитивность полной вариации [8], можно доказать, что точная верхняя граница для любого частичного промежутка равна и, следовательно, есть неубывающая и ограниченная функция. Если мы не будем делить А на частичные промежутки, то сумма для промежутка А приведется к одному слагаемому , и оно точной верхней границы сумм для А, и, следовательно, что и приводит к (128).

Пусть функция множеств на порождённая функцией точки и предположим, что имеет вид

где Имеем

и, применяя неравенство Буняковского, получаем

т. е. выполнено условие (128), и

причем, в силу непрерывности указание на замкнутость или незамкнутость промежутка несущественно.

Формула (129) приводит к вполне аддитивной функции множеств

определенной для множеств , измеримых относительно и принадлежащих причем . Суммы

имеют точную верхнюю границу выражаемую формулой (118):

Покажем, что ту же верхнюю границу имеют и суммы (127), соответствующие разбиению лишь на промежутки. Она не может быть, во всяком случае, больше L Пользуясь абсолютной непрерывностью мы покажем, что интеграл (132) является и точной верхней границей сумм (127), которые получаются при разбиении на промежутки. В силу сказанного выше, для любого

заданного положительного в существует такое разбиение b промежутка на измеримые множества , что

где буквою i мы обозначили интеграл (132). Принимая во внимание необходимость условия в теореме 1 из [37], можем утверждать, что для любого существует элементарная фигура , т. е. конечная сумма полуоткрытых промежутков без общих точек, такая, что

где меры сколь угодно малы. Множества попарно без общих точек, но могут иметь общие точки за счет и меры этих общих частей также сколь угодно малы. В каждом из равенств (134) мы можем общую часть с остальными которая представляет собой сумму конечного числа полуоткрытых промежутков, отнести к . Если — наибольшая из мер то при таком переносе для новых будем иметь ибо Таким образом, можем считать, что в равенствах не имеют попарно общих точек, и меры сколь угодно малы.

Принимая во внимание (133), а также абсолютную непрерывность и изяи меры достаточно малыми, можем написать

Пусть — промежутки, входящие в состав всех Принимая во внимание (62), получим

В силу непрерывности можем считать замкнутыми или открытыми промежутками. Эти промежутки могут не покрывать . Добавляя неотрицательные слагаемые, соответствующие оставшимся промежуткам, мы для полной суммы тем более будем иметь (135) и, в силу произвольности , следует, что интеграл (132) есть точная верхняя граница сумм (127) при условии (129), где . Отметим еще, что, в силу предположенной непрерывности функция определяемая формулой (130), непрерывна.

Покажем теперь, что если выполнено условие (128), т. е. суммы (127) ограничены, то представима формулой

Пусть — некоторый промежуток из — частичные промежутки его некоторого разбиения. Из (128) следует, в силу неравенства Буняковского:

т. е.

Для точной верхней границы сумм, стоящих слева, при любых разбиениях справедливо то же неравенство и, следовательно, есть функция ограниченной вариации и для ее полной вариации мы имеем неравенство

Если — какие угодно неперекрывающиеся промежутки из , то из (136) следует

Если сумма, стоящая справа, то имеем

и, в силу произвольности s, отсюда следует, что абсолютно непрерывна по отношению и, следовательно,

Остается показать, что Построим ограниченную функцию:

и положим

Функция и, следовательно, в силу доказанного выше,

Если интеграл (138) мы будем брать по различным множествам из измеримым относительно то получим функцию

множеств, полная вариация которой на выражается интегралом [73):

Если будем разбивать только на промежутки, то получим для функции (138) ту же полную вариацию [74].

Принимая во внимание (137), имеем

где М - конечное число. С другой стороны, в силу (139) и (141), имеем и, принимая во внимание (140) и (142), получаем при любом :

откуда и следует, что . Предыдущие рассуждения дают следующую теорему.

Теорема 2. Условие (128) равносильно тому, что представима в виде (138), где и если условие (128) выполнено, то точная верхняя граница сумм (127) выражается интегралом (132).

Во всем предыдущем мы можем не считать непрерывными. При этом основной промежуток берем полуоткрытым и делим его на полуоткрытые промежутки, для которых . Все результаты, кроме непрерывности сохранятся. Отметим, что из условия (128) и непрерывности следует, что можно написать условие (128) с непрерывной h(x).