96. Примеры нормированных пространств.

1. Все указанные в [87] пространства кроме s и S суть пространства если положить для них . При этом для пространств последовательностей умножение элемента на число а сврдится по определению к умножению каждого числа

последовательности на а и сложение элементов к сложению чисел этих последовательностей, имеющих одинаковый номер:

Для функциональных пространств умножение элемента на число а сводится по определению к умножению функции на о и сложение элементов к сложению соответствующих функций. Нулевой элемент в пространстве последовательностей есть последовательность, состоящая из нулей, а в пространстве функций — функция, тождественно равная нулю (в С и V) или эквивалентная нулю (в М, S и ).

2. Рассмотрим в ограниченную область D и множество функций имеющих внутри D непрерывные частные производные до порядка причем эти производные имеют предельные значения на границе D и представляют собой функции, непрерывные в замкнутой области D. В этом случае мы будем короче говорить, что функция имеет производные непрерывные в D. Указанное множество функций есть линейное пространство. Введем в нем следующую норму:

где означает любую производную порядка k. Максимум берется по всем х, принадлежащим D, для функции и всех ее производных до порядка . Легко видеть, что норма удовлетворяет трем основным условиям [95].

Сходимость в есть равномерная сходимость в D функции и всех ее производных до порядка . Согласно признаку сходимости Коти и известной теореме о почленном дифференцировании последовательностей функций можно утверждать, что если последовательность элементов сходится в себе, то она сходится к некоторому элементу , т. е. пространство есть пространство В.