Здесь и в дальнейшем 
означает суммирование по всевозможным наборам натуральных чисел 
в сумме дающих 
. Нетрудно проверить наличие основных свойств нормы, указанных в 
. Покажем, что пространство — полное. Пусть 
сходящаяся в себе последовательность в 
т. е.
при k и 
Отсюда следует, что последовательности 
сходятся в себе в 
. В силу полноты 
и теоремы 2 из [109], получаем, что 
сходятся в 
к некоторой функции 
причем эта функция имеет всевозможные обобщенные производные порядка l из 
Сказанное равносильно сходимости 
Пространство 
является, таким образом, пространством типа В (полным линейным нормированным пространством). Остановимся теперь на доказательстве сепарабельности пространства 
. С этой целью представим область D в виде счетного множества непересекающихся полуоткрытых промежутков [32]. Соответствующие им открытые промежутки пронумеруем, обозначим 
и введем множество 
функций 
принадлежащих 
в каждом промежутке 
и таких, что сходится ряд
Задание нормы по формуле (139) превращает 
в линейное нормированное пространство. Легко видеть, что функции из 
входят в 
Таким образом, 
есть подпространство пространства 
и нам достаточно установить сепарабельность последнего [94].
Множество функций из 
, отличных от нуля лишь в конечном числе промежутков, плотно в 
. Действительно, пусть 
и 
произвольное число. Положим 
при 
в остальной части D. Очевидно, 
и при достаточно большом 
в силу сходимости ряда (139). Функции 
в каждом из промежутков 
можно приблизить в метрике 
раз непрерывно дифференцируемыми функциями [111] последние в свою очередь можно вместе с производными равномерно приблизить в 
многочленами с рациональными коэффициентами. Отсюда вытекает, что в 
плотно множество функций, каждая из которых отлична от нуля лишь в конечном числе промежутков 
каждом из этих промежутков совпадают с многочленом с рациональными коэффициентами. Легко видеть, что множество таких функций счетно и, следовательно, 
сепарабельно. Этим доказана и сепарабельность пространства 
.
Остановимся теперь на одном специальном вопросе. Пусть в некотором линейном нормированном пространстве X наряду с основной нормой 
введена еще норма 
причем для всех 
где 
постоянные. Нормы, удовлетворяющие условию (140), называются эквивалентными. Очевидно, что последовательность 
сходящаяся в одной норме, сходится в другой. При решении вопросов полноты, сепарабельности, компактности и т. п. безразлично, какую из эквивалентных норм рассматривать. Точно так же дистрибутивный оператор, ограниченный в одной норме, окажется ограниченным и относительно другой (эквивалентной) нормы. При этом норма ограниченного оператора, вообще говоря, меняется при переходе к эквивалентной нормировке пространства, но остается конечной.
Рассмотрим подробнее вопрос об эквивалентных нормировках в 
-мерном вещественном эвклидовом пространстве 
Мы ввели в 
норму формулой
Пусть теперь функция 
обладает свойствами нормы [95] и, кроме того, непрерывна на поверхности единичной сферы 
Покажем, что 
представляет собой норму, эквивалентную норме (141). Непрерывная функция 
достигает на поверхности единичной сферы своего наибольшего и наименьшего значения. Обозначим 
при 
. В силу положительности и непрерывности 
имеем 
. В силу свойств 
всюду в 
т. е. нормы (141) и 
эквивалентны,
В качестве 
можно взять, например, выражения:
Основываясь на этих соображениях, легко проверить, что нормы, заданные в пространстве (D) формулами:
эквивалентны основной норме (138). Этим замечанием мы будем пользоваться в дальнейшем.
Введем теперь еще одно функциональное пространство. На множестве функций, имеющих всевозможные обобщенные производные в D до порядка l включительно и принадлежащих вместе с этими производными 
определим норму формулой
Полученное линейное нормированное пространство будем обозначать 
Так же, как это было сделано для пространства 
можно доказать, что пространство 
полное и сепарабельное. Сделанное выше замечание о эквивалентных нормах в 
в равной мере относится и к пространству 
Ниже [116] мы покажем, что для довольно широкого класса областей пространства 
состоят из одного и того же множества функций, и нормы (138) и (145) эквивалентны. При 
пространства 
совпадают по определению, причем, очевидно, 
есть
-мерного пространства. Рассмотрим множество всех функций 
имеющих все обобщенные производные порядка 
причем 
и все 
принадлежат 
. Этот класс функций будем обозначать через 
мы превратим его в нормированное пространство, если введем норму по формуле:
