104. Пространство линейных операторов и сходимость последовательности операторов.

Выше мы рассматривали пространство линейных функционалов и вопросы сходимости последовательности функционалов (по норме и слабой). Обратимся к тем же вопросам

для линейных операторов в пространстве X типа В. Пусть Y — пространство всевозможных линейных операторов в областью значений в некотором пространстве X типа В. Сложение и умножение на число определяются, как и для функционалов

Норма элемента вводится, как норма соответствующего оператора. Как и в [99], доказывается, что У есть пространство типа В.

Рассмотрим теперь последовательность линейных операторов из в X. В силу сказанного выше, если при то существует такой линейный оператор что и тем самым для любого мы имеем в X. Сходимость называется сходимостью операторов по норме. При этом ограничены, что следует из неравенства:

Отметим, что для сходимости по норме необходима и достаточна сходимость по норме в себе, т. е. при (полнота пространства операторов).

Напишем очевидное неравенство

Если принадлежит некоторому ограниченному множеству U пространства X, то существует такое что если . Отсюда следует, что для любого существует такой значок N (зависящий от и не зависящий от что при , т. е. сходимость на любом ограниченном множестве U равномерная. Поэтому вместо сходимости операторов по норме иногда говорят равномерная сходимость операторов. Рассмотрим другой вид сходимости операторов. Говорят, что последовательность линейных операторов сильно сходится к линейному оператору А, если в для любого

Как и в [99], доказывается, что если есть сходящаяся в X последовательность при любом то последовательность норм ограничена, а также следующее утверждение: для сильной сходимости последовательности достаточно ограниченности и сходимости на плотном в линеале. Положим, что сходится в при любом Обозначим через предел Оператор А дистрибутивен в в силу дистрибутивности и ограничен, в силу ограниченности последовательности т. е. А — линейный оператор. Таким образом, если сходящаяся в последовательность при любом то последовательность сильно сходится к линейному

оператору А. В силу полноты вместо сходимости последовательности достаточно потребовать сходимости ее в себе. Таким образом, пространство линейных операторов оказывается полным не только относительно сходимости по норме, но и относительно сильной сходимости. Как мы уже отметили выше, из сходимости по норме следует сильная сходимость.

Рассмотрим еще третью сходимость операторов. Говорят, что последовательность линейных операторов слабо сходится к линейному оператору А, если в X для любого . Из сильной сходимости операторов вытекает, очевидно, слабая сходимость. Для функционалов сильная и слабая сходимости совпадают.

Выше мы определили сложение линейных операторов и их умножение на число. Можно, естественно, определить и умножение операторов. Если А есть линейный оператор из X в X и В — линейный оператор из X в , то оператор ВА, определяемый формулой

есть линейный оператор из X в . Его дистрибутивность следует из дистрибутивности А и В, а ограниченность — из очевидного неравенства

Отсюда следует, что . Можно образовать и произведение нескольких сомножителей. Если A — линейный оператор из X в , то можно брать его целые положительные степени: и т. д.

Отметим, что произведение сомножителей может зависеть от их порядка. Если, например, A и В — линейные операторы из X в , то имеет смысл говорить о следующих линейных операторах из А в . Эти операторы могут быть различными. Аналогичное замечание относится и к случаю нескольких сомножителей.

Сильную сходимость операторов иногда называют просто сходимостью. Мы будем пользоваться для нее обозначением . Пусть последовательности линейных операторов из X в X и а — числовая последовательность. Нетрудно показать, что если , то . Аналогичное утверждение имеет место и для сходимости по норме. Если линейные операторы из X в из в то из следует же для сходимости по норме). Докажем последнее утверждение.

Мы имеем

и

Первое слагаемое стремится к нулю, ибо и второе — в силу того, что ограничены и .