124. Линейные операторы.

Рассмотрим теперь линейные (ограниченные) операторы, определенные во всем И, и значения которых также принадлежат . В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем пользоваться терминами «линейный функционал» и «линейный оператор» для дистрибутивных ограниченных функционалов и операторов, заданных на всем Норму оператора А мы будем обозначать через или Напомним формулу

Через Е будем обозначать оператор тождественного преобразования, т. е. для любого . Если то А есть оператор аннулирования, т. е. для любого . Пусть L — некоторое подпространство. Согласно теореме из [122] мы имеем для любого единственное представление в виде , где . Оператор, переводящий х в у, называется оператором проектирования, или проектором в L, и обозначается следующим образом:

Если L есть все , то . Если L состоит из одного нулевого элемента, то есть оператор аннулирования. В общем случае причем знак тогда и только тогда, когда . Если не есть оператор аннулирования, то . Дистрибутивность следует из того, что если мы имеем два разложения:

где Аналогично .

Введем теперь некоторые новые понятия и отметим элементарные свойства линейных операторов Слово «линейный» мы будем часто опускать.

Если А и В — два таких оператора, что для любого элемента мы имеем то говорим, что операторы А и В совпадают, и пишем Если дистрибутивный и ограниченный оператор А задан на некотором линеале повсюду плотном в то так же, как и в случае функционала, его можно единственным образом продолжить на все И с сохранением дистрибутивности и ограниченности, и при этом продолжении его норма, которую он имел в не повысится.

Если А и В — два оператора, а а и b — два комплексных числа, то есть линейный оператор, определяемый равенством

Принимая во внимание, что

видим, что у оператора норма Таким образом, операторы можно умножать на комплексные числа и складывать. Эта операция подчиняется обычным законам алгебры. Последовательное применение операторов А и В представляет собой также линейный оператор, который мы обозначим символом ВА. Применение тех же операторов, но в другом порядке, приводит к линейному оператору АВУ отличному, вообще говоря, от ВА, Мы назовем операторы ВА и АВ произведением операторов А и В. Это определение непосредственно распространяется и на случай любого конечного числа сомножителей. Если ВАУ то говорят, что операторы коммутируют. Мы имеем

и, следовательно, норма произведений ВА и Отметим еще, что если а — комплексное число и А — оператор, то норма а А в точности равна . Произведение операторов подчиняется, очевидно, сочетательному закону, т. е.

и распределительному закону

Переходим теперь к введению понятия сопряженного оператора. Пусть А — некоторый линейный оператор; рассмотрим скалярное произведение Для любого фиксированного элемента у

оно представляет собой функционал от Дистрибутивность его вытекает из дистрибутивности скалярного произведения, а ограниченность — из очевидной формулы

Но всякий функционал мы можем представить единственным образом в виде скалярного произведения. Таким образом, для любого фиксированного элемента у существует такой определенный элемент у, что

для любого из Н. Таким образом, написанная формула дает определенный закон, согласно которому каждому элементу у соответствует определенный элемент у. Запишем этот закон в виде где А — символ некоторого оператора. Его дистрибутивность непосредственно следует из дистрибутивности скалярных произведений по отношению ко второму аргументу. Дальше мы докажем и ограниченность оператора . Этот оператор и называется сопряженным с А. Формулу (36) мы можем теперь записать в виде

Из данного выше определения сопряженного оператора непосредственно вытекают следующие формулы составления сопряженного оператора для суммы и произведения операторов:

Докажем, например, третью из написанных формул. Применяя дважды определение (37), получим

откуда и следует, что Докажем еще последнюю из формул (38). Мы имеем, пользуясь определением (37) и свойством

откуда и следует, что . Докажем, наконец, ограниченность оператора А.

Теорема 1. Норма сопряженного оператора равна норме первоначального оператора, т. е.

Полагая в формуле и пользуясь неравенствами (5) и (33), мы получим

откуда следует, что а потому . В силу мы, в силу доказанного, имеем: откуда и следует, что

Оператор А называется самосопряженным, если Таким образом, для самосопряженного оператора характерным является равенство

Если положить в этом равенстве и принять во внимание , то мы увидим, что в случае самосопряженного оператора вещественно для любого элемента . Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 2. Для самосопряженности А необходимо и достаточно, чтобы был вещественным для любого элемента

Необходимость мы показали выше. Положим теперь, что вещественно при любом выборе и докажем, что А — самосопряженный оператор. По условию мы имеем

Раскрывая скалярные произведения и принимая во внимание, что получим

Вычитая почленно, приходим к равенству (39), откуда и следует, что А — самосопряженный оператор. Принимая во внимание формулы (38), видим, что любая линейная комбинация самосопряженных операторов с вещественными коэффициентами есть самосопряженный оператор, а произведение АВ самосопряженных операторов будет самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда А и В коммутируют.

Пусть L — некоторое подпространство и М — дополнительное к нему. В силу теоремы из [122], имеем

Нетрудно видеть, что всякий проектор есть самосопряженный оператор. Действительно, принимая во внимание ортогональность L и М и формулу (40), получим

Пусть А — любой линейный оператор. Построим следующие два оператора:

Принимая во внимание формулы (38), видим, что самосопряженные операторы. Таким образом, получаем следующее выражение любого линейного оператора через самосопряженные операторы: