Пользуясь понятием предела, мы можем, как и [95], ввести понятие о сходимости бесконечных рядов, составленных из элементов Н:
Такой ряд называется сходящимся, если сумма первых его
членов:
стремится к пределу
при
Элемент и называется в этом случае суммой ряда (10). Из аксиомы полноты и сказанного выше о сходимости в себе непосредственно следует необходимое и достаточное условие сходимости ряда (10): для любого заданного
существует такое N, что
Особенно простую форму имеет это условие сходимости в том случае, когда члены ряда (10) попарно ортогональны, т. е.
при
.
Теорема. Если члены ряда (10) попарно ортогональны, то для его сходимости необходимо и достаточно, чтобы сходился следующий ряд, составленный из неотрицательных чисел:
Действительно, условие
в этом случае, в силу теоремы Пифагора, может быть записано в виде
а это последнее условие необходимо и достаточно для сходимости ряда (11).
При любой перестановке членов ряда (10) в ряде (11) произойдет такая же перестановка членов. Но это не влияет на его сходимость. Следовательно, и перестановка членов ряда (10) не влияет на его сходимость — если он был сходящимся, то он и после перестановки останется сходящимся; если он не был сходящимся, то не будет сходящимся и после перестановки. Нетрудно показать, пользуясь теоремой Пифагора и сходимостью ряда (11), что в рассматриваемом случае сумма ряда не завлсит от порядка слагаемых.
Мы говорим, что последовательность элементов
образует ортогональную нормированную (ортонорми-рованную) систему, если
Принимая во внимание доказанную теорему, мы можем утверждать, что для сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы сходился следующий ряд из неотрицательных чисел:
Положим, что это условие выполнено, и обозначим через
сумму ряда (15). Составим скалярное произведение
При
оно, в силу (13), равно
и, следовательно, переходя к пределу при
мы получим
Числа
определенные по этой формуле, называются коэффициентами Фурье элемента
относительно системы (12), а ряд (14) — рядом Фурье элемента
Мы имеем очевидно
и при беспредельном возрастании
получаем уравнение замкнутости
Из предыдущих рассуждений следует, что если ряд (14) сходится, то он есть ряд Фурье для своей суммы
и имеет место уравнение замкнутости (18). Положим теперь наоборот, что задан некоторый элемент
из
. Составляем его коэффициенты Фурье (16) и пишем формулу (17). Из нее вытекает неравенство Бесселя
Ряд, стоящий слева, обязательно сходится, т. е. ряд Фурье любого элемента
обязательно сходится. Если в формуле (19) имеет место знак
то это значит, в силу (17), что сумма ряда Фурье элемента
равна именно этому элементу
Система (12) называется замкнутой, если в формуле (19) для любого элемента
из Н имеет место знак
Система (12) называется полной, если не существует никакого элемента из
кроме нулевого, который был бы ортогонален ко всем
Совершенно так же, как и раньше [58], можно показать, что замкнутость и полнота эквивалентны. Если система (12) замкнута, то всякий элемент
из И представим единственным образом в виде сходящегося ряда (14), а именно своего ряда Фурье. Пусть
коэффициенты Фурье элемента
элемента у. Если система (12) замкнута, то, как и в [58], мы получим обобщенное уравнение замкнутости
Отметим еще, что если
любые комплексные числа и
коэффициенты Фурье элемента
то имеет место формула
Сравнивая с (17), мы видим, что левая часть последней формулы принимает наименьшее значение, если
суть коэффициенты Фурье элемента
Отметим, что если принять осуществление пространства И в виде функционального пространства
то сходимости в И будет соответствовать сходимость в среднем в
о которой мы говорили в [56]. Сходимость ряда Фурье сводится при этом к уравнению замкнутости из
Напомним теперь процесс ортогонализации, который мы уже применяли в случае
-мерного комплексного пространства [III; 29]. Пусть имеется бесконечная последовательность элементов из
, отличных от нулевого элемента:
Строим нормированный элемент
. Пусть
первый из элементов (20) после
который не может быть представлен в виде
. Строим элемент
который, наверное, отличен от нулевого, и нормируем его, т. е. строим
. Пусть далее
первый из элементов (20) после
, который не может быть представлен в виде
Строим элемент
который, наверное, отличен от нулевого, и нормируем его, т. е. строим
. Продолжая так и дальше, мы получим ортогональную и нормированную систему (12), которая обладает следующим свойством: всякий элемент
есть конечная линейная комбинация элементов (20) и наоборот, причем элемент
выражается лишь через первые k из элементов
Отметим, что попарно ортогональные и отличные от нулевого элементы
линейно независимы. Действительно, пусть имеет место равенство
Умножая его обе части на
и принимая во внимание упомянутую ортогональность, получим
, откуда и следует линейная независимость
.
В силу сепарабельности
существует счетное множество М элементов
плотное в Н. Если мы ортогонализуем последовательность
то получим полную (замкнутую) ортонэрмированную систему
состоящую из счетного множества элементов. Замкнутость непосредственно следует из того, что множество (21) повсюду плотно в И. Если бы после ортогонализации осталось лишь конечное число элементов, то
было бы конечномерным.
Наоборот, если в
существует полная ортонормированная система
состоящая из счетного множества элементов, то нетрудно показать, что конечные суммы
с комплексными рациональными коэффициентами
, где
— вещественные рациональные числа) — образуют счетное множество, плотное в Н, т. е. свойство сепарабельности равносильно тому, что в Н существует полная ортонормированная система, представляющая собой счетное множество элементов.
Покажем еще, что из сепарабельности
следует, что всякая ортонормированная система
состоит из конечного или счетного множества элементов.
Пусть х и у — два взаимно ортогональных и нормированных элемента, т. е.
. Мы имеем
или
т. е. расстояние между двумя ортогональными и нормированными элементами равно
Положим теперь, что имеется некоторое множество
ортонормированных элементов. Фиксируем s так, что
Для любого v из
существует такой элемент
из множества (21), плотного в Ну что
. С другой стороны, при фиксированном k только один элемент
может удовлетворять неравенству
ибо если бы два различных элемента и