121. Ортогональность и ортогональные системы элементов.

Если то, в силу (1), и этом случае элементы х и у называются взаимно ортогональными, или просто ортогональными, и пишут . В силу (2), нулевой элемент ортогонален любому элементу.

Пусть попарно ортогональные элементы, т. е. при Составляем квадрат нормы суммы этих элементов:

Раскрывая скалярное произведение согласно (1) и (2) и пользуясь указанной ортогональностью, получаем для попарно ортогональных элементов следующую теорему Пифагора:

Пользуясь понятием предела, мы можем, как и [95], ввести понятие о сходимости бесконечных рядов, составленных из элементов Н:

Такой ряд называется сходящимся, если сумма первых его членов: стремится к пределу при Элемент и называется в этом случае суммой ряда (10). Из аксиомы полноты и сказанного выше о сходимости в себе непосредственно следует необходимое и достаточное условие сходимости ряда (10): для любого заданного существует такое N, что

Особенно простую форму имеет это условие сходимости в том случае, когда члены ряда (10) попарно ортогональны, т. е. при .

Теорема. Если члены ряда (10) попарно ортогональны, то для его сходимости необходимо и достаточно, чтобы сходился следующий ряд, составленный из неотрицательных чисел:

Действительно, условие в этом случае, в силу теоремы Пифагора, может быть записано в виде

а это последнее условие необходимо и достаточно для сходимости ряда (11).

При любой перестановке членов ряда (10) в ряде (11) произойдет такая же перестановка членов. Но это не влияет на его сходимость. Следовательно, и перестановка членов ряда (10) не влияет на его сходимость — если он был сходящимся, то он и после перестановки останется сходящимся; если он не был сходящимся, то не будет сходящимся и после перестановки. Нетрудно показать, пользуясь теоремой Пифагора и сходимостью ряда (11), что в рассматриваемом случае сумма ряда не завлсит от порядка слагаемых.

Мы говорим, что последовательность элементов

образует ортогональную нормированную (ортонорми-рованную) систему, если

Принимая во внимание доказанную теорему, мы можем утверждать, что для сходимости ряда

необходимо и достаточно, чтобы сходился следующий ряд из неотрицательных чисел:

Положим, что это условие выполнено, и обозначим через сумму ряда (15). Составим скалярное произведение

При оно, в силу (13), равно и, следовательно, переходя к пределу при мы получим

Числа определенные по этой формуле, называются коэффициентами Фурье элемента относительно системы (12), а ряд (14) — рядом Фурье элемента Мы имеем очевидно

и при беспредельном возрастании получаем уравнение замкнутости

Из предыдущих рассуждений следует, что если ряд (14) сходится, то он есть ряд Фурье для своей суммы и имеет место уравнение замкнутости (18). Положим теперь наоборот, что задан некоторый элемент из . Составляем его коэффициенты Фурье (16) и пишем формулу (17). Из нее вытекает неравенство Бесселя

Ряд, стоящий слева, обязательно сходится, т. е. ряд Фурье любого элемента обязательно сходится. Если в формуле (19) имеет место знак то это значит, в силу (17), что сумма ряда Фурье элемента равна именно этому элементу Система (12) называется замкнутой, если в формуле (19) для любого элемента из Н имеет место знак Система (12) называется полной, если не существует никакого элемента из кроме нулевого, который был бы ортогонален ко всем Совершенно так же, как и раньше [58], можно показать, что замкнутость и полнота эквивалентны. Если система (12) замкнута, то всякий элемент из И представим единственным образом в виде сходящегося ряда (14), а именно своего ряда Фурье. Пусть коэффициенты Фурье элемента элемента у. Если система (12) замкнута, то, как и в [58], мы получим обобщенное уравнение замкнутости

Отметим еще, что если любые комплексные числа и коэффициенты Фурье элемента то имеет место формула

Сравнивая с (17), мы видим, что левая часть последней формулы принимает наименьшее значение, если суть коэффициенты Фурье элемента

Отметим, что если принять осуществление пространства И в виде функционального пространства то сходимости в И будет соответствовать сходимость в среднем в о которой мы говорили в [56]. Сходимость ряда Фурье сводится при этом к уравнению замкнутости из

Напомним теперь процесс ортогонализации, который мы уже применяли в случае -мерного комплексного пространства [III; 29]. Пусть имеется бесконечная последовательность элементов из , отличных от нулевого элемента:

Строим нормированный элемент . Пусть первый из элементов (20) после который не может быть представлен в виде . Строим элемент который, наверное, отличен от нулевого, и нормируем его, т. е. строим . Пусть далее первый из элементов (20) после , который не может быть представлен в виде Строим элемент

который, наверное, отличен от нулевого, и нормируем его, т. е. строим . Продолжая так и дальше, мы получим ортогональную и нормированную систему (12), которая обладает следующим свойством: всякий элемент есть конечная линейная комбинация элементов (20) и наоборот, причем элемент выражается лишь через первые k из элементов Отметим, что попарно ортогональные и отличные от нулевого элементы линейно независимы. Действительно, пусть имеет место равенство

Умножая его обе части на и принимая во внимание упомянутую ортогональность, получим , откуда и следует линейная независимость .

В силу сепарабельности существует счетное множество М элементов

плотное в Н. Если мы ортогонализуем последовательность то получим полную (замкнутую) ортонэрмированную систему состоящую из счетного множества элементов. Замкнутость непосредственно следует из того, что множество (21) повсюду плотно в И. Если бы после ортогонализации осталось лишь конечное число элементов, то было бы конечномерным.

Наоборот, если в существует полная ортонормированная система состоящая из счетного множества элементов, то нетрудно показать, что конечные суммы с комплексными рациональными коэффициентами , где — вещественные рациональные числа) — образуют счетное множество, плотное в Н, т. е. свойство сепарабельности равносильно тому, что в Н существует полная ортонормированная система, представляющая собой счетное множество элементов.

Покажем еще, что из сепарабельности следует, что всякая ортонормированная система состоит из конечного или счетного множества элементов.

Пусть х и у — два взаимно ортогональных и нормированных элемента, т. е. . Мы имеем или т. е. расстояние между двумя ортогональными и нормированными элементами равно Положим теперь, что имеется некоторое множество ортонормированных элементов. Фиксируем s так, что Для любого v из существует такой элемент из множества (21), плотного в Ну что . С другой стороны, при фиксированном k только один элемент может удовлетворять неравенству ибо если бы два различных элемента и

удовлетворяли этому неравенству, то, в силу правила треугольника, мы получили бы , а должно быть Из сказанного непосредственно следует, что множество конечно или счетно.