33. Элементарная фигура.

В дальнейшем основную роль для нас будут играть конечные полуоткрытые промежутки и для краткости речи мы их будем называть просто промежутками. Пусть задана неотрицательная, аддитивная и нормальная функция промежутков . Наша задача распространить ее на некоторый широкий класс точечных множеств при сохранении всех ее указанных выше свойств. Назовем элементарной фигурой сумму конечного числа промежутков попарно без общих точек. Обозначая через R такую элементарную фигуру, можем написать

Эту же элементарную фигуру мы можем конечно разбить и каким-либо иным образом на промежутки, не имеющие попарно общих точек,

Нетрудно видеть, что для любых двух таких разбиений мы будем иметь

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести новое разбиение R, которое является произведением разбиений (22) и (23), и принять во внимание аддитивность При этом окажется, что как левая, так и правая части формулы (24) представляют собой сумму значений для промежутков указанного только что нового разбиения R. Для получения левой части формулы (24) достаточно сгруппировать слагаемые этой последней суммы, соответствующие тем частичным промежуткам, которые принадлежат одному и тому же а для получения правой части (24) эту группировку надо сделать для слагаемых, соответствующих частичным промежуткам, принадлежащим одному и тому же Таким образом, если элементарная фигура разбита каким-либо способом на частичные промежутки, не имеющие попарно общих точек, то сумма значений функции G (А) для полученных частичных промежутков имеет вполне определенное значение, т. е. не зависит от способа разбиения R. Эту сумму мы и принимаем за значение функции для элементарной фигуры т. е.

при любом разбиении R на конечное число промежутков попарно без общих точек. Таким образом, мы совершенно просто распространили функцию на элементарные фигуры. Мы могли бы, пользуясь формулой (21), совершенно аналогичным образом распространить G(А) и на все открытые множества. Но мы пойдем несколько иным путем. При этом все же открытые множества будут играть в нашем изложении основную роль. В настоящем параграфе рассмотрим еще некоторые простые свойства промежутков и элементарных фигур.

Отметим, что если то . Это следует непосредственно из неотрицательности G(А), если использовать такое разбиение на промежутки, при котором частичные промежутки, имеющие общие точки с целиком входят в Пусть — промежутки, которые могут иметь и общие точки. Проводя прямые, на которых лежат стороны мы разобьем сумму промежутков на частичные промежутки, причем эти частичные промежутки обладают следующим свойством: если два из них имеют общую точку, то они целиком совпадают. Считая налегающие друг на друга промежутки за один промежуток, получим некоторую элементарную фигуру которая представляет, очевидно, сумму промежутков причем мы имеем

и знак имеет место, если хотя бы для одного из налегающих промежутков значение функции G(А) положительно.

Введем теперь новое понятие, которое будет использовано в дальнейших построениях. Пусть некоторый промежуток — положительное число. Назовем -сжатием промежутка А промежуток, определяемый неравенствами и обозначим этот промежуток символом . Назовем - расширением промежутка А промежуток, определяемый неравенствами а и обозначим его символом . Разности суть элементарные фигуры. В силу неотрицательности имеем

а из нормальности функции непосредственно следует.

Докажем теперь лемму, которая будет нам нужна в дальнейшем.

Лемма. Если элементарная фигура R покрыта конечным или счетным числом промежутков (которые могут иметь и общие точки), то

Утверждение этой леммы наглядно очевидно. Мы приведем его строгое доказательство, пользуясь теоремой 4. Пусть — заданное положительное число. Разбиваем R на конечное число промежутков попарно без общих точек и подвергаем каждый из частичных промежутков - сжатию, причем положительное число а фиксируем настолько малым, чтобы сумма значений G(А) для сжатых промежутков оказалась . Обозначая через элементарную фигуру, равную сумме сжатых промежутков, можем написать

Каждый из промежутков , входящих в покрытие подвергаем -расширению, причем положительные числа выбираем настолько малыми, чтобы иметь

Сжатые промежутки, сумма которых давала делаем замкнутыми промежутками, т. е. замыкаем каждый из этих промежутков. Сумма полученных замкнутых промежутков (их конечное число) есть некоторое замкнутое множество причем очевидно Если исключить из границу, т. е. две стороны и одну вершину, то останется открытый промежуток Принимая во внимание расширение промежутков можем утверждать, что открытые промежутки покрывают упомянутые выше замкнутые промежутки, т. е. покрывают ограниченное замкнутое множество F. Пусть, например, число промежутков бесконечно. В силу теоремы 4 достаточно взять конечное число промежутков для того, чтобы покрыть F, а тем самым покрыть и

Сумма промежутков есть некоторая элементарная фигура причем и, следовательно, . В силу (26) и (29) имеем также

откуда непосредственно следует

а потому и подавно

Сравнивая с (28), получим

Сумма, стоящая слева, не зависит от , и, ввиду произвольности , мы и получаем неравенство (27). Отметим, что слагаемые суммы, стоящей в левой части (27), неотрицательны и конечны, а сама сумма может равняться и

В дальнейшем нам часто придется иметь дело с суммами бесконечного числа неотрицательных слагаемых. Если хотя бы одно из слагаемых такой суммы равно , то и сумму надо считать равной . Но, как мы только что указали, может случиться и так, что все слагаемые конечны, а сумма равна т. е. ряд расходится.