188. Примеры неограниченных операторов.

Рассмотрим в этом номере различные дифференциальные операторы с точки зрения общей теории операторов. Все они будут неограниченными операторами. Рассмотрение будем вести в комплексном гильбертовом пространстве комилекснозначных функций вещественного аргумента. Формула интегрирования по частям в нем, играющая в дальнейшем фундаментальную роль, имеет тот же вид, что и в вещественном пространстве, именно, для любых двух функции из в случае кусочно-гладкой границы 5 области D имеем [113]:

где n — внешняя нормаль к .

Начнем с простейшего дифференциального оператора Оператор пространстве .

Как мы видели выше, в абстрактной теории оператор А задастся областью определения D(А) и правилом вычисления А на элементах из D(А).

Взятый нами оператор D можно естественным образом определить на всех функциях из , имеющих обобщенную производную из L2 [0,1]. Однако D, определенный на таком широком классе функций, не будет обладать рядом свойств, которыми обладает D, рассмотренный, например, на финитных гладких функциях. Поэтому мы в этом и в последующих примерах начинаем с того, что рассматриваем сначала дифференциальный оператор на множестве гладких функций, подчиненных каким-либо граничным условиям, изучаем ею свойства, как-то: симметричность, положительную определенность, обратимость и др., а затем ставим вопрос о возможности его расширений с сохранением тех или иных свойств первоначального оператора.

Выбор области определения первоначального дифференциального оператора неоднозначен. Чтобы подчеркнуть это, мы в нижеприводимых примерах делаем это по-разному.

Обозначим через А оператор D, рассмотренный на множестве С(1) [0,1] всех финитных непрерывно дифференцируемых на [0,1] функциях (см. обозначения в [113]). Значение А на ср из D(А) вычисляется но формуле и D(A) плотно в .

1) Оператор пространстве

Как мы видели выше, в абстрактной теории оператор А задастся областью определения D(А) и правилом вычисления А на элементах из D(А).

Взятый нами оператор D можно естественным образом определить на всех функциях из имеющих обобщенную производную из Однако D, определенный на таком широком классе функций, не будет обладать рядом свойств, которыми обладает D, рассмотренный, например, на финитных гладких функциях. Поэтому мы в этом и в последующих примерах начинаем с того, что рассматриваем сначала дифференциальный оператор на множестве гладких функций, подчиненных каким-либо граничным условиям, изучаем ею свойства, как-то: симметричность, положительную определенность, обратимость и др., а затем ставим вопрос о возможности его расширений с сохранением тех или иных свойств первоначального оператора.

Выбор области определения первоначального дифференциального оператора неоднозначен. Чтобы подчеркнуть это, мы в нижеприводимых примерах делаем это по-разному.

Обозначим через А оператор D, рассмотренный на множестве всех финитных непрерывно дифференцируемых на [0,1] функциях (см. обозначения в [113]). Значение А на из D (А) вычисляется но формуле

плотно в

Оператор А симметричен, ибо из (23) следует, что для

Из симметричности А следует, что допускает замыкание, имеет сопряженный и . Выясним, из каких функций состоят Пусть тогда

Из теории обобщенных производных следует, что это замыкание А расширяет до

Каждая из есть абсолютно непрерывная функция, равная нулю на концах и имеющая обобщенную первую производную из Можно было бы показать, что любая такая функция входит в [0,1]. Оператор А на из D(А) вычисляется по формуле (23) с лишь разницей, что на этот раз означает не классическое, а обобщенное дифференцирование. Исследуем теперь, из каких функций состоит Функция если есть такая функция что т. е.

для всех из D(А). Но это означает что имеет обобщенную

производную равную т. е. что причем любая удовлетворяет (24) с

Тем самым мы показали, что . Ясно, что [0,1] шире, чем [0,1]. Легко убедиться, что А не симметричен на

Покажем, что на существует ограниченный обратный (откуда будет следовать, что R(А) есть подпространство). Пусть . Тогда и, в силу неравенства Буняковского, имеем о

Отсюда следует, что на R(А) существует и .

Выясним возможность различных самосопряженных расширений оператора А. Мы знаем, для любого симметричного расширения А имеет место соотношение т. е. при таком расширении мы должны добавлять к D(А) элементы из , и на этих добавляемых элементах считать . При этом надо заботиться о том, чтобы не потерять при расширении симметрии оператора.

Представим И в виде:

В силу теоремы из [185], U состоит из нулей сопряженного оператора.

Но так что и Попробуем расширить А так, чтобы расширилась до и чтобы оператор остался при этом симметричным. Для этого надо взять все решения уравнений и среди них выбрать те, на которых оператор D симметричен.

Очевидно имеет вид . Подберем постоянные С и так, чтобы D на был симметричен, т. е. чтобы

Отсюда имеем произвольное, а произвольное вещественное число. Присоединим к D(А) элементы где — фиксированное вещественное число, а произвольное комплексное. Полученное множество обозначим через D(А), а оператор D на нем — через А. Легко проверить, что А есть симметричное расширение А.

С другой стороны, в силу самого построения А его область значений есть поэтому F является самосопряженным расширением А [187]. Добавляемые

элементы такого расширения удовлетворяют, как легко видеть, граничному условию

Этому же условию удовлетворяют, очевидно, и элементы D(А). С другой стороны, для любого элемента из удовлетворяющего условию (25), имеет место тождество

при произвольной из . Поэтому такое Но А есть самосопряженное расширение А, т. е. и, следовательно, состоит из всех элементов из удовлетворяющих условию (25). Из сказанного следует, что состоит из всех абсолютно непрерывных функций равных нулю на концах и имеющих из

Мы построили всевозможные самосопряженные расширения А, для которых Каждое из этих расширений определяется произвольным вещественным параметром , или что то же, вещественным числом 0, изменяющимся в пределах

Выясним еще возможность таких самосопряженных расширений А оператора А, при которых

Если такое расширение существует, то для него D(А) дополнится лишь нулями оператора А, т. е. элементами . Оператор D на множестве есть симметрический оператор А, являющийся расширением А. Множество можно охарактеризовать тем, что оно состоит из всех тех элементов для которых .

Проверим, что . Пусть , т. е. пусть при любой имеем

Но и потому

откуда, в силу и (26), имеем т. е. . Тем самым мы доказали, что А есть самосопряженное расширение А. Если сравним граничное условие которому подчиняются функции из с условием (25) для полученных ранее расширений, то увидим, что оно соответствует значению что то же, значению

Таким образом, мы перечислили все возможные самосопряженные расширения оператора А. На ряду с ними A имеет и различные несамосоиряженные расширения, но мы ими заниматься не будем.

Самосопряженные расширения А, соответствующие , имеют ограниченные обратные Действительно, если то и, в силу (4), должно быть Отсюда следует, что существует, а так как он определен на всем и есть самосопряженный оператор, то он и ограничен [186].

Оператор же не имеет обратного на

2) Оператор в пространстве

Обозначим через А дифференциальный оператор D, определенный на непрерывно дифференцируемых финитных функциях . Легко проверяется, что он симметричен и что D(А) плотно в Н.

Исследуем сопряженный оператор A. Функция если для всякой выполняется соотношение

причтем Но из первого определения обобщенной производной непосредственно следует, что есть множество т. е. множество функций из абсолютно непрерывных на каждом конечном промежутке, имеющих производную из . Покажем, что ли , то при Из очевидной формулы

и того факта, что следует, что имеет конечный предел при и что этот предел должен быть равен нулю.

Исследуем теперь А. Функция если для всякой выполняется соотношение (27), причем

Принимая во внимание, что мы можем утверждать, что всякая функция из D(А) должна принадлежать . С другой стороны, легко проверить соотношение (27), считая, что Действительно, интегрирование по частям на любом конечном промежутке даст:

Принимая во внимание, что при в пределе при а придем к соотношению (27). Из сказанного следует, что есть самосопряженный оператор. Но мы знаем, что и, следовательно, замыкание оператора А приводит к самосопряженному оператору

3) Оператор в пространстве

Пусть А — оператор D на всех непрерывно дифференцируемых функциях, финитных на бесконечности и в окрестности При помощи рассуждений, совершенно аналогичных вышеприведенным, можно показать, что А есть оператор D, D (А есть множество функций абсолютно непрерывных на любом конечном промежутке [0, а] с производной из есть множество функции из удовлетворяющих условию причем Тем самым D (A) шире , и А не есть самосопряженный оператор, ибо Покажем, что А не имеет самосопряженных расширений. Пусть А такое расширение. Имеем: должно быть шире Но сейчас докажем, что если то и это противоречие и докажет, что А не имеет самосопряженных расширений.

Пусть и тем самым Формула приводит нас к равенству

из которого, в силу при а , следует, что в пространстве

Пусть вещественная непрерывная на промежутке [0,1] функция, и А — оператор на множестве всех функций со следующими свойствами: и абсолютно непрерывны при

Нетрудно проверить, что А — симметричный оператор и плотно в Н.

Мы будем предполагать, что таково, что уравнение не имеет решения, равного нулю при кроме тривиального Докажем, что при этом откуда следует, что А — самосопряженный оператор.

Пусть Надо доказать, что существует функция из D(А), для которой

Введем функцию

которая, очевидно, принадлежит причем и пусть решение уравнения

удовлетворяющее условию со Такое решение (с непрерывными производными до второго порядка) существует [IV; 173]. Нетрудно непосредственно проверить, что функция принадлежит

. Что и требовалось доказать. Таким образом, А — самосопряженный оператор. Оператор А имеет ограниченный обратный

где функция Грина оператора А при предельном условии Указанное выше условие относительно решений уравнения — равных нулю, при выполнено, если, например,

5) Оператор в пространстве где D — ограниченная область в

Пусть А есть оператор на всех -раз непрерывно дифференцируемых финитных в D функциях Известно, что D(А) плотно в и легко проверить с помощью (123) из [109], что А симметричен. Область определения сопряженного оператора А будет состоять из всех функций имеющих внутри D обобщенную производную вида принадлежащую следует из определения обобщенной производной). Ясно, что шире . На существует ограниченный, обратный. Действительно, пусть Продолжим ее нулем вне D и заключим D в куб: а. Тогда можно представить в виде

откуда, используя неравенство Буняковского, легко получить

так что существует на и R(А) есть подпространство Н. Как будет доказано дальше в теории расширений операторов, для таких симметрических операторов существует по крайней мере одно самосопряженное расширение.

6) Оператор в пространстве где D — ограниченная область в

Пусть А есть оператор — , определенный на всех дважды непрерывно дифференцируемых финитных в D функциях, т. е. пусть . Множество плотно в Н. Если то

т. е. А — положительный, а, следовательно, и симметричный оператор. Кроме того, известно что для всех

с одной и той же постоянной С, зависящей лишь от размеров D. Из (28) и (29) следует

т. е. А положительно определен, и на существует ограниченный обратный

Как будет показано впоследствии, такие операторы А допускают самосопряженные расширения, причем каждому расширению соответствует некоторая краевая задача для оператора Лапласа. Здесь же мы выясним структуру Возьмем Интегрированием по частям легко проверить справедливость равенства

из которого, если учесть (28) и (29), следует

где некоторая постоянная, зависящая лишь от области. Пусть теперь . Из (32) следует, что тогда сходятся к в норме так что будет принадлежать . Такое пополнение мы обозначали через так что

Пусть теперь Это значит, что существует функция такая, что тождество

справедливо при всех Построим ньютонов потенциал

где площадь единичной сферы в .

Известно [II; 201], что если непрерывно дифференцируемая функция, то и дважды непрерывно дифференцируема в D и

Мы покажем сейчас, что если то . Для этого продолжим нулем вне D, построим усреднения и рассмотрим функции

Они дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнению

При и — будут сходиться к и в норме , где любая ограниченная область. Будем считать, что D лежит строго внутри . В силу (36) можно утверждать, что для верно равенство

где есть фиксированная неотрицательная, дважды непрерывно дифференцируемая функция, равная единице в D, нулю вне и удовлетворяющая всюду услозию (легко показать, что такие функции существуют):

Используя формулу интегрирования по частям, преобразуем (37) к виду

Отсюда, используя неравенство справедливое при любом и неравенство (38), найдем

Возьмем Тогда из последнего неравенства будет следовать

откуда мы можем заключить, что при функция вместе со своими производными первого и второго порядков будет стремиться к нулю в норме

Следовательно, предельная для функция и определяемая интегралом (34), будет принадлежать и будет удовлетворять уравнению (35). Поэтому для нее Еерно тождество

при любой . Вычитан его из (33), получим для тождество

В [119] нами доказано, что из этого тождества следует гармоничность функции причем для любой гармонической в D функции, соответствующее тождество верно.

Таким образом, для мы получили следующее представление:

где гармоническая в D функция, и так как и интеграл принадлежат , то и . Легко проверить, любая функция такого вида входит в и

7) Оператор в пространстве Мы рассмотрим сначала не сам оператор , а один из операторов с каким-либо вещественным X. Возьмем X положительным, например, равным единице. Это гарантирует нам, как мы увидим ниже, наличие ограниченного обратного и облегчит тем самым, решение задачи о самосопряженных расширениях оператора.

Итак, пусть А есть оператор — определенный на дважды непрерывно дифференцируемых финитных функциях Известно, что D(А) плотно в и легко видеть, что — симметричен. Из рассмотрений предыдущего примера следует, что элементы из D(А) и имеют обобщенные производные до второго порядка включительно, квадратично суммируемые по любой конечной области из Оператор вычисляется на как дифференциальный оператор

Покажем, что Во-первых, ибо если и то из (28) и (31) следует, что

Докажем обратное включение, т. е. что Пусть

Строим последовательноегь функций

где есть усреднение с радиусом, а функции дважды непрерывно дифференцируемые финитные функции, определенные при следующими свойствами:

а есть гладкая неотрицательная функция, равная нулю при . Каждая . Докажем, что при в норме Разбивая в выражении нормы интегрирование по на два: по части, где и части, где , получаем

Пусть задано . Второе слагаемое может быть сделано для всех , если взять достаточно большим. Это следует из из построения функций и свойств усреднений функции обобщенных производных. Зафиксируем указанным образом. При имеем при в норме .

Отсюда следует, что при всех достаточно больших имеет место неравенство

Из сказанного вытекает включение и тем самым можно считать доказанным, что . Покажем, что , т. е., что А — самосопряженный оператор. Для этого достаточно прозерить, что область значений оператора А есть все Будем для простоты считать Возьмем любую финитную непрерывно дифференцируемую функцию

как известно [IV; 231], дважды непрерывно дифференцируема, удовлетворяет уравнению и экспоненциально убывает при вместе со своими производными, так что заведомо Следовательно, и область значений R(А) оператора А плотна в И.

Покажем, что на существует ограниченный обратный Из этого уже будет следовать, что R(А) есть подпространство и потому

Итак, пусть . Умножим это равенство на и проинтегрируем по после чего преобразуем его с помощью интегрирования по частям:

Отсюда, в силу неравенства Коши, имеем

т. е. действительно существует на R(А) и

Этим заканчивается доказательство того, что или, что то же, того, что замыкание оператора А приводит к его (единственному) самосопряженному расширению, причем Это же имеет место и для , т. е. оператор А самосопряжен на Однако, в отличие от , оператор не имеет ограниченного обратного (нетрудно показать, что обратный для существует, но не ограничен).