194. Резольвента.

Приведем выражение резольвенты через спектральную функцию.

Если l невещественно, то есть функция X, непрерывная в замкнутом промежутке и мы можем образовать ограниченный оператор

Докажем, что он обладает всеми свойствами резольвенты при чем и будет оправдано его обозначение через При любом элемент и, в силу (66.2), мы имеем

С другой стороны, в силу (73) и (75)

Подставляя в предыдущую формулу и пользуясь свойством интеграла Стилтьеса [9], получим

откуда, ввиду произвольности у,

Построим две последовательности чисел и причем и последовательность элементов . Мы имеем и, в силу . Отсюда, в силу замкнутости А, следует, что при любом .

Остается доказать, что при . Это непосредственно следует из формул

и

которые являются следствием формул (71) и (66).

Остается в силе и формула, определяющая спектральную функцию через резольвенту

Самосопряженному оператору соответствует определенная спектральная функция и оператор ограничен тогда и только тогда, когда переменна только на конечном промежутке.

Мы доказали [191], что для того, чтобы везде заданный ограниченный оператор В коммутировал с самосопряженным оператором А, необходимо и достаточно выполнение условия

при любом при котором существует резольвента. Докажем теперь следующую теорему:

Теорема. Для того чтобы В коммутировало с А, необходимо и достаточно, чтобы при всяком вещественном X выполнялось условие

Достаточно доказать, что условия (78) и (79) равносильны. В силу (75) имеем для любых элементы и у:

т. е.

Если выполнено условие (79), то правые, а потому и левые части равенств (80) одинаковы, и, в силу произвольности х и у, выполнено условие (78). Наоборот, если выполнено условие (78), то, в силу единственности обращения интеграла Коши-Стилтьеса могут отличаться лишь постоянным слагаемым, а также в точках разрыва. Но обе указанные функции стремятся к нулю при и непрерывны справа в точках разрыва, а потому для любых х и у мы имеем , т. е. выполнено условие (79), и теорема доказана.

Отметим, что, в силу результатов коммутирует с А при всяком Это следует и из доказанной теоремы. Из этой же теоремы и (70) следует, что коммутируется.