10. Существование Интеграла Стилтьеса.

До сих пор мы рассматривали интеграл Стилтьеса от непрерывной функции по функции ограниченной вариации Из формулы интегрирования по частям следует [2], что функция ограниченной вариации интегрируема по непрерывной функции . Ниже мы укажем некоторые простые условия, касающиеся существования интеграла Стилтьеса в других случаях. Будем предполагать, что ограничены на конечном промежутке неубывающая функция. Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться интегралом Стилтьеса лишь в случае непрерывности приведем указанные ниже результаты без доказательства.

1. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо, чтобы была непрерывна во всех точках разрыва и, если это условие выполнено, то интегрируема по функции скачков и интеграл от по выражается формулой (35).

Если выгюлнено указанное необходимое условие интегрируемости, то вопрос об интегрируемости по сводится к вопросу об интегрируемости по непрерывной неубывающей функции Если, например, функция ограниченной вариации, то, как указано выше, интегрируемость имеет место. Приведем необходимое и достаточное условие интегрируемости по

Для интегрируемости по необходимо и достаточно выполнение следующего условия: при любом заданном положительном можно покрыть точки разрыва непрерывности конечным или счетным множеством промежутков (которые могут и перекрываться) так, что имеет место неравенство

Положим теперь, что функция ограниченной вариации. Пусть имеется каноническое разбиение этой функции (45) и какое-либо другое

разбиение (47). Составим разность для

Мы видели выше, что

и, следовательно, если при беспредельном измельчании промежутков , то и подавно т. е. если интегрируема по то она интегрируема и по Совершенно аналогично, если интегрируема по то она интегрируема и по Но из интегрируемости по не следует интегрируемость по . Таким образом, для испытания интегрируемости по надо испытать интегрируемость по . Если интегрируема по то будет существовать интеграл от по и он будет выражаться формулой (55).

III. Интегрируемость по равносильна интегрируемости по полной вариации

Это утверждение, как и утверждение I, доказывается просто. Значительно более сложным является доказательство утверждения II.