80. Основная теорема.

Переходим к доказательству основной теоремы, формулированной нами в [73]. Как и выше, достаточно доказать теорему для случая неотрицательной функции из . Обозначим, как всегда, через предел определенных формулой (89). Равенство в силу лемм 1 и 2, имеет место в том и только в том случае, когда абсолютно непрерывна в . Пусть не абсолютно непрерывна. Построим неотрицательную вполне аддитивную в функцию

Мы покажем, что есть сингулярное слагаемое в формуле (14) из [73]. Образуем

Вспомним разбиение - удовлетворяющее условию (90), и неравенство (91), в силу которого при Принимая во внимание определение (101), можем написать

т. е., в силу (90),

Но, ввиду абсолютной непрерывности имеем для всех достаточно больших и, следовательно,

Принимая во внимание, что получим или, ввиду произвольности , можем написать при всяком неотрицательны и не убывают при возрастании и потому при всяком имеем

Применяя это к при можем утверждать, что для любого заданного существуют такие множества принадлежащие что

откуда, в силу неотрицательности

Образуем множество принадлежащее Принимая во внимание, что при любом , можем написать и, устремляя к бесконечности, получим . С другой стороны, принимая во внимание, что

первое из неравенств (102) и неотрицательность получим Итак,

Обозначая можем утверждать, что для любого существует такое множество из что

Пусть положительны и Можем написать

Введем множество . В силу второго из последних неравенств и принимая во внимание, что при любом , имеем, в силу первого неравенства: и устремляя к бесконечности, получим Итак, существует такое Н, что

Всякое но , и первая из формул (103), в силу положительности дает и, следовательно, Итак, существует такое Н, что

Таким образом, есть сингулярное слагаемое в формуле (14) из [73] и, принимая во внимание (100) и абсолютную непрерывность нам для доказательства теоремы из [73] остается доказать следующую теорему:

Теорема 3. Всякая абсолютно непрерывная функция из может быть представлена интегралом

где измерима и суммируема на

Согласно теореме 2, существуют такие кусочно-постоянные функции что

откуда следует, в силу (59),

Но всякая сол есть интеграл от кусочно-постоянной функции с конечным числом конечных значений на

И

Полная вариация этой функции множеств, представимой интегралом, выражается формулой [73]:

откуда

и ряд, составленный из этих интегралов, сходится. При этом почти везде в сходится ряд [54]:

и тем более почти везде сходится ряд

т. е. почти везде в . Сумма ряда (107) есть, в силу оценки (106), суммируемая на функция. Но этой суммы, а потому также суммируема. Мы можем написать

и, принимая во внимание оценку (106), получим для любого из

откуда непосредственно следует, что

при всяком Р. С другой стороны, из определения полной вариации по и (105) следует

откуда при всяком g, т. е.

и теорема доказана. До сих пор мы предполагали, что конечное число. Если то результат получается предельным переходом от множеств с конечным значением для которых теорема доказана, причем не зависит от .