143. Непрерывные функции самосопряженного оператора.

Если А — самосопряженный оператор, определенный формулой (204), то любой функции непрерывной в промежутке , мы сопоставим оператор определяемый формулой

Это соответствие между непрерывными функциями и операторами дистрибутивно, т. е. непрерывной функции соответствует оператор . Это непосредственно вытекает из дистрибутивности интеграла (212) по отношению к функции Кроме того, указанное соответствие и мультипликативно, а именно функции соответствует оператор или равный ему оператор Для того чтобы показать это, составим произведение сумм для функций

Принимая во внимание (182) и (184), мы можем представить написанное произведение в виде

и, переходя к пределу, получим формулу

которую мы и хотели доказать. Наряду с формулой (212) мы можем написать соответствующие формулы для билинейного и квадратичного функционала:

Далее, аналогично формуле (211), имеем формулу

Принимая во внимание формулу (214), получаем следующую формулу для целых положительных степеней A:

и для полиномов:

Как мы выше упоминали, если вещественная функция, оператор есть самосопряженный оператор, и предел для есть также самосопряженный оператор. Если на промежутке , то, в силу формулы (215), оператор положителен. Положим теперь, что есть комплексная функция При этом мы имеем где самосопряженные операторы. Составляя оператор мы можем, пользуясь свойством самосопряженности операторов написать

т. е. оператор F (А) будет сопряженным с

Отметим еще некоторые свойства коммутирования. Из формулы (210) следует, что оператор при любом значении X коммутирует с А. Поэтому и оператор при любых значениях коммутирует с А. Тем самым сумма также коммутирует с А, и, переходя к пределу, мы получим, что оператор коммутирует с А. Докажем теперь следующую теорему:

Теорема Оператор коммутирует с любым оператором В, коммутирующим с А.

Пусть последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю. В силу теоремы Вейершграсса существует такая последовательность полиномов , что

Составим разность

Принимая во внимание формулы (203) и (219), мы можем написать

откуда . Оператор В, коммутирующий с А, коммутирует и с любым полиномом . Переходя к пределу, мы получаем , и теорема таким образом доказана. В дальнейшем мы покажем [161], что и спектральная функция при любом X коммутирует с любым оператором В, коммутирующим с А. Наоборот, если В коммутирует с то В коммутирует с любым оператором и тем самым он коммутирует с суммой (209) и в пределе с оператором А. Таким образом, имеет место следующая теорема:

Теорема 2. Для того чтобы оператор коммутировал с А, необходимо и достаточно, чтобы он при любом X коммутировал с

Приведем один пример функции от оператора, которым мы пользовались выше [138]. Пусть А — положительный оператор, т. е. и положим где берется арифметическое значение радикала. Мы можем определить положительный оператор :

или

В силу (214) мы имеем .