209. Некоторые теоремы о расширениях и их спектрах.

Начнем с доказательства следующей теоремы:

Теорема 1. Если X — вещественная точка регулярного типа замкнутого симметричного оператора А, то существует такое

самосопряженное расширение А оператора А, для которого X - регулярная точка.

Не ограничивая общности, можно считать . Из условий теоремы следует, что R(А) — подпространство, и на нем определен ограниченный обратный оператор . Надо доказать, что существует такое самосопряженное расширение А оператора А, для которого . При указанных условиях мы имеем:

где - подпространство всех решений уравнения: Известно, что в рассматриваемом случае и, следовательно, для любого и существует по крайней мере одно решение уравнения

Обозначим через V линеал всех решений уравнения (165), когда и пробегает все U. Очевидно, что Обозначим через U линеал элементов V, ортогональных U, и построим линеал I элементов представимых в виде

где Покажем, что представление в виде (166) единственно. Если бы это было не так, то существовал бы элемент отличный от нулевого, принадлежащий одновременно D(А) и . Но тогда ибо и тем самым Но и потому что совместно с дает Этим доказана единственность представления (166), т. е. -прямая сумма: . Определим теперь на линеале l оператор А, полагая , и линеал l обозначим через Очевидно Покажем, что А удовлетворяет всем требованиям теоремы. На линеале оператор А совпадает с А и на U оператор А дает все U, что следует из определения U и того факта, что при и . Таким образом, . Остается показать симметричность А на . Отметим сначала, что

Пусть Тогда, согласно и мы имеем

Теорема доказана.

Можно показать, что если вполне непрерывен, то и вполне непрерывен. Подробному изучению таких расширений операторов, как абстрактных, так и дифференциальных, посвящены работы М. И. Вишика (Труды Московского математического общества, т. I, 1952 г.) и L. Hormander’a (Acta Mathematica, 94, 3-4, 1955).

Следствие 1. Если вещественное число X принадлежит чисто точечной части ядра спектра, то существует самосопряженное расширение А оператора А, для которого X также принадлежит чисто точечному спектру с тем же подпространством собственных элементов, что и у А.

Оператор А, рассматриваемый в подпространстве является, как нетрудно видеть, замкнутым симметричным оператором и удовлетворяет условиям теоремы 1. Тем самым он допускает в самосопряженное расширение для которого X есть регулярная точка. Оператор А с областью определения совпадающий с на и с А на и будет, очевидно, указанным в следствии расширением.

Следствие 2. Если А — максимальный, но несамосопряженный оператор, то непрерывная часть ядра спектра А заполняет всю вещественную ось.

Действительно, в противном случае оператор А имел бы самосопряженные расширения.

Следствие 3. Если имеется вещественное X, не принадлежащее непрерывной части ядра спектра А, то при любом индексы дефекта одинаковы.

Это следует из того, что А при указанном условии имеет самосопряженные расширения.

Теорема 2. Пусть вещественное X — точка регулярного типа замкнутого симметричного оператора А и . При этом существует самосопряженное расширение А оператора А, для которого X принадлежит чисто точечному спектру и U является собственным подпространством, отвечающим X.

Без ограничения общности будем считать Отметим, что и U суть подпространства, причем U есть множество решений уравнения Обозначим через множество элементов вида где

Представление в указанном виде единственно. Действительно, в противном случае мы имели бы такой элемент отличный от нулевого, что Отсюда следует, что . Но, поскольку плотно в Я, получаем а это противоречит тому, что точка регулярного типа.

Таким образом, мы можем определить на прямой сумме: оператор А, полагая если

Симметричность А непосредственно проверяется, ибо

Докажем самосопряженность А. Пусть

Поскольку А С] А, можно утверждать, что и Представляя, как и выше, в виде получим

или

т. е.

Это равенство имеет место для всех а потому и, следовательно, существует такой элемент что откуда . В силу (167), самосопряженность А доказана. Остальные утверждения теоремы относительно свойств оператора А непосредственно следуют из его конструкции.

Следствие. Если вещественное X принадлежит чисто точечному спектру А, то можно построить самосопряженное расширение А, для которого X также будет принадлежать только точечной части ядра спектра А, причем подпространство собственных элементов А, отвечающее X совпадает с подпространством собственных элементов А, отвечающих X.

Доказательство этого следствия аналогично доказательству следствия 1 теоремы 1.