210. Независимость индексов дефекта от «лямбда».

Выше мы отмечали, что индексы дефекта не зависят выбора комплексного числа X из верхней полуплоскости. В этом параграфе мы докажем это утверждение. Прежде всего отметим, что если какой-либо линейный оператор В (не обязательно ограниченный) преобразует биоднозначно некоторое подпространство V в подпространство W, то размерности V и W совпадают: Это следует из того, что линейно независимые элементы подпространства V оператором В переводятся в линейно независимые элементы подпространства W и наоборот. Введем еще одно определение. Число называется размерностью линеала по модулю линеа если в имеется и не более линейно независимых элементов, никакая линейная комбинация которых, кроме случая всех коэффициентов, равных нулю, не принадлежит Обычно обозначают Число может быть равно и бесконечности.

Пусть А — замкнутый симметричный оператор и его индексы дефекта, соответствующие X, взятому из верхней полуплоскости.

Тогда, как мы видели [202], имеют место формулы

где есть совокупность всех нулей оператора совокупность всех элементов вида при и аналогично для

Далее [2031:

и любое симметричное расширение А строится с помощью изометричного оператора, устанавливающего взаимно однозначное соответствие между подпространствами (одинаковой размерности) пространств

Из формулы (169) следует, что

и, следовательно, сумма не зависит от X. Предположим сначала, что она имеет конечное значение. Построим какое-либо максимальное расширение оператора А и рассмотрим какое-либо из верхней полуплоскости. Не ограничивая общности, можем считать . Отсюда следует, что индексы дефекта при суть где По лемме из [208] индексы дефекта для всех X из верхней полуплоскости суть , где Далее из (169) следует

и мы имеем

откуда видно, что не зависит от X. Тем самым не зависит от X. Предположим теперь, что равно бесконечности. Если при каком-либо мы имеем то возможны самосопряженные расширения А, и тем самым при любом X.

Остается рассмотреть тот случай, когда при каком-либо один индекс дефекта конечен, а другой бесконечен.

Пусть конечно и Из предыдущего непосредственно следует, что и при всяком X будет конечно и Надо лишь показать, что не зависит от X. Это легко получить из формулы [202]:

где фиксированное максимальное расширение, — изометрический оператор, зависящий от выбора и X. В силу существования из (171) следует

что и доказывает независимость от X.

Из теоремы 1 [209] следует, что если существует вещественное являющееся точкой регулярного типа замкнутого симметричного оператора А, то он допускает самосопряженные расширения, и, следовательно, при наличии вещественной точки регулярного типа, индексы дефекта (p,q) (не зависящие от X) одинаковы. Они равны размерности подпространства U собственных элементов А, отвечающих собственному значению

Действительно, считая и обозначая через А самосопряженное расширение А, для которого регулярная точка [209], имеем в рассматриваемом случае: причем в этих формулах представление элемента левой части в виде указанной суммы однозначно, и, следовательно,