170. Слабая сходимость в l2.
Пусть имеется последовательность элементов 
которая сильно сходится к элементу 
Это можно записать так:
Отсюда следует
и 
ограничены числом 
зависящим 
.
Из (86) непосредственно следует
но из (88) не следует (86).
Покажем, что условие (88) совместно с ограниченностью норм элементов 
равносильно слабой сходимости 
Если имеет место слабая сходимость, то 
должны быть ограничены, т. е. должно иметь место (89) при некотором выборе l и, кроме того, должно быть 
где 
упомянутые выше орты, а это приводит к (88).
Наоборот, если выполнены условия (88) и (89), то слабая сходимость 
непосредственно следует из сказанного в [132].
Мы можем, таким образом, формулировать следующую теорему. Теорема. Условия (88) и (89) необходимы и достаточны для существования слабого предела последовательности элементов 
, если они выполнены, то предельный элемент имеет составляющие 
