132. Слабая сходимость.

Поскольку мы имеем общую форму линейного функционала в слабая сходимость равносильна тому, что при любом . Напомним, что из следует существование такого числа , что при всех значениях . Далее, поскольку сопряженное пространство Н совптдает с Н, всякое ограниченное в И множество слабо компактно, и Н обладает слабой полнотой, т. е. если при и любом , то последовательность слабо сходящаяся. Мы знаем также, что если — линейный оператор, то Покажем теперь, что если ортонормированная система, полная в , и ту то для того чтобы показать, что достаточно показать, что Действительно, пусть Любой

элемент можно представить в виде

причем

Напишем

и пусть нам задано . В силу имеем [121]:

и можем фиксировать такое N, что правая часть написанного неравенства При этом

В силу при всех достаточно больших первое слагаемое правой части и откуда и следует, что

Докажем следующую теорему:

Теорема 1. Если то . Достаточно доказать, что . Второе утверждение получится перестановкой элементов. Мы можем написать

или

Принимая во внимание, что из следует существование такого числа что и используя неравенство Буняковского, получим

Первое слагаемое справа ибо а второе — 0, ибо . Таким образом, и теорема доказана.

Теорема 2. Если то Мы имеем

Из условий теоремы следует, что и, следовательно, , что и требовалось доказать.

Эта теорема, как указано в [101], имеет место и для некоторых пространств типа В.