204. Максимальные операторы.
Укажем простой прием построения максимальных операторов. Выберем какую-либо полную ортонормированную в И систему
и определим изометрическое преобразование U формулой
т. е. для любого элемента у из Н
мы имеем
Следуя обозначениям из [201], можем сказать, что V есть Н, а L образовано всеми ортами (137), кроме
и формулы (124) и (125), в которых у — любой элемент
приведут нас к замкнутому симметричному оператору А с индексами дефекта (0,1). Надо только проверить, что линеал
образованный элементами
плотен в
. Для этого достаточно, очевидно, показать, что существуют элементы
из
такие, что для любого заданного орта
норма
сколь угодно мала. Образуем элемент
где
— некоторое целое положительное число. Мы имеем
откуда, в силу теоремы Пифагора и нормированности
, следует
и, беспредельно увеличивая
будем иметь сколь угодно малые значения для
что и требовалось доказать. Максимальный оператор указанного типа называется элементарным симметричным оператором. Если положить
, то
совпадет с
а вместо формул (119) и (120) получим:
откуда при замене
на
видно, что
преобразует линеал
в подпространство
преобразует
в
т. е. при замене А на
меняются местами, и, следовательно, если А есть указанный выше оператор с индексами дефекта (0,1), то
имеет индексы дефекта (1,0).
Пусть
— унитарный оператор, переводящий орты (137) в орты
Применение предыдущего приема к ортам
дает нам изометрический оператор
и элементарный симметричный оператор А, причем, очевидно,
получается из D(А) при помощи оператора
Можно доказать, что если А — любой замкнутый симметричный оператор с индексами дефекта
, где
и конечно, то Н можно представить в виде ортогональной суммы подпространств:
приводящих оператор А и таких, что каждое
при
бесконечномерно, а оператор А, индуцированный А в
есть элементарный симметричный оператор; подпространство
которое может и отсутствовать, может быть как бесконечномерным, так и конечномерным, и индуцированный в нем оператор
есть самосопряженный оператор. Аналогичный результат имеет место и при
В случае индексов дефекта
при
операторы
обратны по знаку элементарным симметричным операторам.