129. Спектр самосопряженного оператора.

В этом параграфе мы будем рассматривать самосопряженные операторы.

Теорема 1. Если X не есть собственное значение самосопряженного оператора А, то формула (64) определяет линеал плотный в И.

Доказываем от обратного. Положим, что не плотен в Н, т. е. что замыкание приводит к подпространству, отличному от И. При этом, в силу теоремы из [122], существует элемент отличный от нулевого и ортогональный к упомянутому подпространству и тем самым к для любого из или, пользуясь самосопряженностью . Полагая получим Если X — вещественно, т. е. то оказывается, что X — собственное значение А, что противоречит предположению. Если X не вещественно, то равенство показывает, что невещественное число X есть собственное значение самосопряженного оператора А, чего не может быть, и теорема доказана.

Если X — регулярная точка, то совпадает с Н. Это следует из определения регулярной точки. Если X есть собственное значение, то все элементы ортогональны к

соответствующим собственным элементам А, и линеал не может быть плотным в Н. Дальше мы увидим, что если X не есть регулярная точка и не есть собственное значение, то линеал не есть И, (он плотен в Н).

Установим теперь необходимое и достаточное условие регулярности X.

Теорема 2. Для того чтобы X было регулярной точкой самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое положительное число , что для любого из Н выполнялось бы неравенство

Всякое невещественное значение X и вещественные значения, лежащие вне промежутка , где и М — границы А, регулярны.

Доказываем необходимость условия (65). Пусть X — точка регулярности. При этом существует ограниченный обратный оператор (62). Обозначая через q его норму, имеем

или, полагая в этом неравенстве приходим к неравенству (65) при . Доказываем достаточность условия (65).

Из этого условия вытекает прежде всего, что X не есть собственное значение, и, таким образом, линеал определенный в теореме 1, плотен в И. Мы покажем сейчас, что он замкнут, а потому совпадает с Н. Положим, что элементы принадлежат Нам надо доказать, что и . В силу (65), мы имеем Последовательность сходится в себе, и, в силу последнего неравенства, можно утверждать, что и последовательность сходится в себе, т. е. существует такой элемент что . Из формулы вытекает, что и таким образом . Итак, линеал совпадает с Н и оператор обратный определен во всем Н. Для доказательства регулярности точки X нам остается доказать, что оператор ограничен. Полагая в условии получим

откуда и следует ограниченность и первая часть теоремы доказана. Положим, что где . Полагая можем написать

Вычитая из первого равенства второе, получим

или

и, пользуясь неравенством (6), приходим к неравенству

т. е.

Мы пришли к неравенству (65) при и, таким образом, всякое невещественное значение X регулярно. Положим теперь, что X вещественно, но лежит вне промежутка . Положим, например, что и докажем, что при этом выполняется условие (65). Мы можем написать

или

Из определения верхней границы М оператора А следует, что разность, стоящая в квадратных скобках, неположительна. Кроме того, по предположению, и последняя формула дает

С другой стороны, имеем неравенство

Последние два неравенства приводят к следующему неравенству:

откуда, при следует (65), что и требовалось доказать.

Из теоремы вытекают следующие следствия.

Следствие 1. Для того, чтобы X принадлежало спектру, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: существует такая последовательность нормированных элементов что

Действительно, если такая последовательность есть, то условие (65) не может быть выполнено при и, тем самым, X принадлежит спектру. Наоборот, если X принадлежит спектру, то условие (65) не выполнено ни при каком , т. е. существует такая последовательность нормированных элементов что Отметим, что если X — собственное значение, то за мы можем

при любом взять один и тот же элемент, а именно какой-либо нормированный собственный элемент При этом при любом .

Следствие 2. Если нижняя граница лежит вне , и А имеет ограниченный обратный оператор. Мы пользовались этим в [127].

Следствие 3. Совокупность регулярных точек вещественной оси X есть открытое множество.

Пусть X — точка регулярности. Нам надо доказать, что и все точки при всех достаточно малых положительных суть также точки регулярности. По условию существует такое положительное , что имеет место (65), откуда

откуда и следует, что при все точки суть точки регулярности.

Следствие 4. Точки спектра самосопряженного оператора образуют замкнутое множество. Непосредственно следует из следствия 3 [32].

Теорема 3. Значения принадлежат спектру.

Предполагая докажем утверждение теоремы для Введем самосопряженный оператор , имеющий границы и . Его норма равна . Из определения верхней границы следует, что существует такая последовательность нормированных элементов, что где и Мы имеем

откуда следует, что и, в силу следствия 1 теоремы 2, не имеет ограниченного обратного.

Покажем теперь, что и принадлежит спектру. Для самосопряженного оператора границами будут причем ту так что, по доказанному выше, не имеет ограниченного обратного, т. е. не удовлетворяет условию (65), но тогда и не удовлетворяет этому условию.

Мы видели выше, что если X принадлежит спектру, но не есть собственное значение, то линеал повсюду плотен в . Мы покажем, что в этом случае не есть все . Это непосредственно вытекает из следующей теоремы

Теорема 4. Если есть все Н, то обратный оператор ограничен.

Отметим прежде всего, что если есть Н, то из сказанного в начале этого параграфа следует, что не есть собственное

значение А, и, следовательно, существует обратный оператор определенный во всем Н.

Пусть некоторый элемент Н. Элемент будем обозначать той же буквой со штрихом, т. е. и т. д. Нетрудно видеть, что оператор обладает следующим свойством симметрии:

где х и у — любые элементы Н. Действительно, написанное равенство равносильно равенству которое имеет место в силу самосопряженности А. Выражение (66) при любом выборе нормированного элемента представляет собой линейный функционал от х. Для этого семейства функционалов числа для любого фиксированного элемента ограничены. Действительно, . Отсюда следует, что нормы функционалов (66) при ограничены [100]. Но эти нормы равны и тем самым существует такое число что при что и требовалось доказать.

Теорема имеет, очевидно, место и для оператора при вещественном X. Случай же невещественного X был рассмотрен выше. В следующем разделе, посвященном неограниченным операторам, мы подробнее изучим спектр самосопряженных операторов.