195. Собственные значения.

Как мы уже упоминали, есть собственное значение А, тогда и только тогда, когда имеет X точкой разрыва непрерывности, и при этом есть проектор в подпространство соответствующих собственных элементов (включая пулевой элемент). Считая, как всегда, Н сепарабельным, мы можем утверждать, что число собственных значений, если они есть, конечно или счетно. Ранг собственных значений определяется, как и раньше, и можно считать, что совокупность всех собственных элементов образует ортонормироваппую систему Пусть точки разрыва подпространства соответствующих собственных элементов - проекторы в эти подпространства.

Составим ортогональную сумму

Подпространство Н приводит А, и оператор А, индуцированный А в есть самосопряженный оператор с чисто точечным спектром.

Если уже в H оператор имеет чисто точечный спектр, то

Пусть какая угодно полная ортонормированная в Н система и некоторая последовательность вещественных чисел, среди которых могут быть и одинаковые, причем будем называть соответствующими. Пусть далее различные из чисел подпространство, образованное теми которым соответствуют равные проектор в

Определим проектор

Это есть разложение единицы, которому соответствует самосопряженный оператор С с чисто точечным спектром. Его собственные значения суть полный набор собственных функций. Если все принадлежат конечному промежутку, то С — ограниченный оператор.