200. Интегральные операторы.

Рассмотрим на промежутке интегральный оператор с ядром удовлетворяющим условию

и таким, что

для почти всех из Соответствующий оператор

определен на линеале таких из на что определяемая формулой (109) также принадлежит Рассмотрим еще, как и в [173], линеал таких функций из что

Мы видели, что линеал l повсюду плотен в Покажем, что если то она и подавно принадлежит Отсюда будет следовать, между прочим, что повсюду плотен в Пусть Мы можем написать

а потому

и достаточно проверить, что интеграл, стоящий справа, имеет конечное значение при каком-нибудь порядке интегрирования. По неравенству Буняковского

и правая часть (111) не превосходит произведения

которое имеет конечное значение, ибо Обозначим через оператор, определенный формулой (109) на линеале Нетрудно показать, что это — симметрический оператор, т. е.

если принадлежит причем, в силу (107),

принадлежит, очевидно, как функция от у. Для доказательства (112) достаточно убедиться в конечности интеграла

при каком-либо порядке интегрирования. Интегрируя сначала по и применяя неравенство Буняковского, убедимся в том, что написанное выражение не превышает

а эта величина конечна, ибо .

Симметричный оператор А, определенный формулой (109) на линеале далеко не всегда является самосопряженным оператором; но он имеет сопряженный А. Докажем, что А совпадает с оператором К, который определяется той же формулой (109) на линеале таких из что и . Пусть для всех из имеется формула

где и Нам надо доказать, что

откуда будет следовать также, что При доказательстве конечности интеграла (113) мы использовали принадлежность к только функции Поэтому в интеграле, стоящем в левой

части (114), можно поменять порядок, и эту формулу можно переписать в виде

Доказательство теоремы из [173] непосредственно приводит нас к тому, что разность, стоящая в квадратных скобках, должна равняться нулю, и мы получаем (115). Наоборот, если выражается формулой (115), то из предыдущих вычислений следует непосредственно, что имеет место формула (114). Эти рассуждения приводят нас к следующей теореме:

Теорема. Пусть и выполнено условие (108). Пусть l — линеал функций из на промежутке удовлетворяющих условию (110) и линеал функций из таких, что определяемая формулой (109) принадлежит При этом линеал l повсюду плотен в и входит в линеал Если далее А — оператор, определенный формулой (109) на линеале и К — оператор, определенный той же формулой на то А есть симметричный оператор и .

Необходимым условием самосопряженности К является его симметричность, что, в силу (107), приводим к равенству:

которое должно быть выполнено для всех из . Покажем, что это условие и достаточно для самосопряженности . Действительно, пусть для всех из D(К) мы имеем

где принадлежат Нам надо доказать, что и имеет место формула (115), причем, в силу определения достаточно доказать (115). Вычитая почленно равенство (117), из последнего равенства и принимая во внимание (107), мы получим (116), откуда, в силу произвольности выбора из которое содержит и будет следовать (115). Таким образом, для того, чтобы оператор К был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы для и из выполнялось равенство (117).

Укажем простые примеры самосопряженных операторов в случае ядра, зависящего от разности на бесконечном промежутке Пусть вещественная четная функция из на указанном промежутке и любая функция из Обозначим Функция вещественна, так как вещественная четная функция. Мы можем написать [149]:

причем, в силу произведение суммируемо на промежутке . Пусть линеал таких функции из что На линеале Г правая часть (118) представляет собой , а потому должна принадлежать Обращая внимание на среднюю часть формулы (118), мы можем, таким образом, утверждать, что на линеале который получается из V при помощи преобразования интегральный оператор К с ядром унитарно эквивалентен операции умножения на функцию из и тем самым есть самосопряженный оператор. Напомним, что через мы обозначаем линеал таких функций из что определяемая формулой (118), также принадлежит . Из предыдущих рассуждений следует только, что входит в Можно доказать, что V совпадает с Это утверждение равносильно, очевидно, следующему: если в формуле то Совпадение с D (К) непосредственно вытекает из невозможности такого расширения самосопряженного оператора, при котором опять получается самосопряженный оператор. Невозможность такого расширения доказана Таким образом, если вещественная четная функция из то интегральный оператор с ядром есть самосопряженный оператор в .