155. Функции самосопряженного оператора.

Пусть А — некоторый самосопряженный оператор и его спектральная функция. Если непрерывна в промежутке , то оператор мы определили формулой

или эквивалентной формулой для билинейного функционала

причем есть комплексная функция ограниченной вариации от X. Она, как известно [125], является линейной комбинацией четырёх неубывающих функций вида где z — некоторый элемент из Н. Таким образом, если любая ограниченная функция, измеримая по отношению к неубывающим функциям

при любом выборе z, то интеграл (296) существует для любых х и у, и тем самым определен билинейный функционал Дистрибутивность этого функционала очевидна из дистрибутивности Докажем ограниченность этого функционала, причем будем считать функцию вещественной, что, впрочем, несущественно. В силу ограниченности, , где С — некоторое положительное число. Полагая приходим к выражению для квадратичного функционала

Напомним, что если отлично от нуля, то последний интеграл равносилен сумме

где последний интеграл понимается как обычный предел сумм. Из неравенства получаем для интеграла (298) оценку

Далее имеем, обозначая через R вещественную часть:

или

и силу

Рассуждая, как и в [122], можем из этого тождества непосредственно получить такое же без знака вещественной части:

При получаем оценку

Если х и у имеют любую положительную норму, то можем написать

причем элементы имеют норму, равную единице, и, в силу оценки (299),

откуда и следует ограниченность билинейного функционала .

Таким образом, мы приходим к следующему основному результату: если - ограниченная функция, измеримая относительно неубывающих функций (297) при любом выборе , то формула (296) определяет линейный оператор Отметим некоторые свойства операторов . Если вещественна, то из (296) при непосредственно следует, что самосопряженный оператор. Если комплексна, то сопряженный оператор получаем по формуле (296) при замене сопряженной функцией. Если то из (298) следует, что положительный оператор. Рассмотрим функцию определенную следующим образом:

Эта функция есть, очевидно, -функция, и мы можем составить интеграл (296). Разбивая область интегрирования на получим

откуда следует

Мы получим эту формулу, допуская, что всякий самосопряженный оператор А имеет спектральную функцию , через которую он выражается по формуле (204), т. е. при выводе формулы (301), мы основывались на теореме из [1421, которую мы оставили без доказательства. Это доказательство по существу будет сводиться к тому, что мы определим для любого самосопряженного оператора А функцию не пользуясь спектральной функцией и, полагая докажем затем основную формулу (204).

Пользуясь известными свойствами интеграла Лебега — Стилтьеса, мы легко установим свойства функций самосопряженного оператора А. При этом будем, конечно, считать, что все функции о которых мы будем говорить, принадлежат определенному выше классу, т. е. ограничены и измеримы относительно функций (210) при любом выборе

Теорема 1. . Линейной комбинации функций соответствует оператор

2. коммутирует и А.

3. Имеет место формула

4. Функции соответствует оператор

Докажем, например, что коммутирует с

откуда и следует, что Отметим еще, что из написанных формул, в силу (180), следует формула

Формула (302) вытекает из следующей цепи равенств:

Наконец,

и такая же формула для произведения . Совершенно так же, как и в [143], мы можем показать, что коммутирует с любым оператором В, коммутирующим с А. Верно и обратное предложение, т. е. если ограниченный линейный оператор С коммутирует с любым оператором коммутирующим с А, то существует такая функция , что . Доказательство этого важного предложения

можно найти в статье Ф. Рисса «О функциях эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве» («Успехи математических наук», IX).

Если в формуле (305) положим то получим

Отметим еще некоторые простые факты, касающиеся функций самосопряженного оператора. Если , то унитарный оператор. Если принимает только значения 0 и 1, то проектор. Докажем, что если есть собственное значение А и соответствующий собственный элемент, то есть собственное значение с тем же собственным элементом Мы знаем, что при при и формула (296) дает нам при любом , откуда, ввиду произвольности у, и следует, что . Отметим, что если имеет конечное число разрывов, то она измерима относительно всех функций (297), и тем самым имеет определенный смысл. То же самое будет и в том случае, когда есть -функция [47], чем мы уже пользовались выше.