75. Абсолютно непрерывные функции множеств.

Вернемся к общему случаю множеств на плоскости и исследуем подробнее преобразование, совершаемое формулой (16), причем будем считать, что неотрицательна и суммируема на всей плоскости. Если определена и суммируема на некотором измеримом множестве то, продолжая ее нулем во вне мы получим функцию, суммируемую на всей плоскости. Формула (16) определяет вполне аддитивную функцию на теле Тем самым эта функция определена для всех полуоткрытых промежутков, и мы можем продолжать эту функцию промежутков на теле как это мы делали раньше относительно .

Теорема 1. Всякое множество из принадлежит и формула (16) дает меру этого множества, получаемую при указанном продолжении

Всякое открытое множество О есть сумма счетного числа полуоткрытых промежутков попарно без общих точек. Суммируя по k обе части формулы

мы слева получаем меру в силу аддитивности меры и справа интеграл но О в силу аддитивности интеграла, т. е. формула (16) дает меру любого открытого множества. Принимая во внимание, что всякое замкнутое множество F есть разность всей плоскости (открытое множество) и некоторого открытого множества О (разности ) и вычитая почленно формулы

получаем, как и выше, что формула (16) дает меру любого замкнутого множества F. Формула (16) дает меру любого открытого множества. Если при помощи формулы: где . Пусть g — некоторое множество из последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю. Мы знаем, что существует последовательность замкнутых и открытых множеств таких, что . В силу абсолютной непрерывности интеграла и, следовательно, g принадлежит [38]. При этом мера g в L является, очевидно, пределом или , т. е. пределом интегралов

причем и, в силу абсолютной непрерывности интеграла, этот предел есть интеграл по g, т. е. мера g в выражается интегралом (16), и теорема доказана. Теорема остается справедливой и при предположении, что неотрицательная функция суммируема лишь по любому ограниченному множеству, и доказательство остается по существу прежним. В следующей теореме мы уточним состав

Теорема 2. Для принадлежности множества g к L необходимо достаточно, чтобы g можно было представить в виде суммы

где и в точках Р из мы имеем

Доказываем необходимость. Пусть g принадлежит Вводим множества

и обозначим еще через g множество точек, в которых не определена или равна . Множество g измеримо относительно . То же можно сказать и о любой части . Функция измеримая относительно , тем самым измерима и относи и все множества (40), как и g, принадлежат L. Определим далее множества

При этом справедлива формула (39). В точках обращается в нуль, и нам надо доказать, что Множество имеет по отношению к меру нуль, и достаточно доказать, что множества измеримы относительно . В силу того, что

измеримо относительно существуют замкнутые множества и открытые такие, что

где s — заданное положительное число. Строим множества

т. е. есть множество тех точек в которых или . Поскольку измерима относительно , множества Далее из следует, что Из следует, что и, в силу и поэтому . Но множество и мы можем написать , т. е.

Далее в силу (43) и имеем и, пользуясь (42), получаем

Множество входит в в силу (43), и на последнем множестве Таким образом, получаем опенку

и неравенство (45) приводится к неравенству

т. е. . На основании (44) получаем ввиду произвольности , видим отсюда, что необходимость условия (39) доказана.

Доказываем достаточность. Дана формула (39), причем в точках . Надо доказать, что Множество в силу теоремы 1. Остается доказать то же для . Множество И всех точек, в которых измеримо относительно а потому и, в силу формулы . Но , а потому измеримо относительно и имеет меру нуль. Таким образом, теорема доказана. Принимая во внимание, что и, следовательно, можем утверждать, что

т. е. для вычисления надо применить формулу (16), заменяя в ней g на . Отметим еще, что в формуле (39) все точки множества в которых можно отнести к Множество этих точек измеримо относительно

Докажем теперь теорему, которая даст нам возможность сводить интеграл Лебега-Стилтьеса по к интегралу по

Теорема 3. Если F(Р) определена, измерима относительно и суммируема на некотором множестве g, измеримом и конечной меры относительно то произведение измеримо относительно и имеет место формула

что может быть написано в виде

Продолжая F(P) во вне g нулем, можно считать, что F(Р), как и определена везде. Кроме того, можем считать, что F(Р) и во всех точках имеют конечные значения. Функция F(Р) измерима относительно измерима относительно а следовательно, и относительно Введем новую функцию полагая если если Иначе говоря, где есть характеристическая функция множества Н тех точек, в которых Как мы упоминали, и, следовательно, т. е. как так и измеримы относительно а потому и измерима относительно Покажем, что измерима и относительно Поскольку измерима относительно при любом а, множество тех точек, в которых может быть представлено в виде где в точках Если а О, то, в силу определения множество отсутствует, и, следовательно, Если же то множество содержит все множество Н, и, как мы упоминали выше, можно считать в этом случае, что совпадает с Н, т. е. что во всех точках . Но а потому и Таким образом, при всех а, измерима относительно а потому и произведение также измеримо относительно Обратимся к множеству указанному в теореме. В точках этого множества произведение совпадает с измеримо относительно . При доказательстве формулы (46) ограничимся тем случаем, когда F(Р) ограничена. Для неограниченных функций доказательство совершенно

аналогично. Пусть — множество тех точек Р из , в которых выполняется неравенство

Строим кусочно-постоянные функции

Последовательность при возрастании возрастает и ограничена по абсолютной величине числом L. Мы имеем

где получается из по формуле (39). Суммируя по всем указанным значениям получаем множество и, внося в последней формуле под знак интеграла, приходим к формуле

Подынтегральная функция правой часги по абсолютной величине не больше суммируемой функции и в обеих частях возможен предельный переход под знаком интеграла, что и приводит к формуле (46). Если множество измеримо и относительно , то в формуле (46) можно заменить на , ибо на так что интеграл по равен нулю.

Доказательство последних трех теорем взято из книги Stone’a «Linear transformations in Hilbert Space and their applications to Analysis».

Если — функция ограниченной вариации, то пользуясь каноническим представлением в виде разности двух неотрицательных функций, получаем

и применяем теорему к Вместо имеем в данном случае , где Для функции получаем представление также в виде разности двух неотрицательных функций и вместо имеем L где Совершенно аналогично рассматривается тот случай, когда меняет знак. При этом надо представить в виде разности положительной и отрицательной части

и доказывать теорему и формулу для каждого отдельного слагаемого. При этом представится в виде разности двух неотрицательных функций, и тело множеств заменится телом множеств, измеримых относительно функции:

Совершенно аналогично теорема распространяется и на случай комплексных функций .

Рассмотрим еще ту форму, которую имеет доказанная теорема в случае одного переменного. Пусть неубывающая и ограничегная функция на конечном промежутке неотрицательна и суммируема по на Рассматриваем функцию

Всякое множество, измеримое относительно будет измеримым и относительно и для измеримости множества относительно необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде (39), где измеримо относительно во всех точках . Если суммируема по на множестве , измеримом относительно , то имеет место формула

где часть множества , входящая в формулу (39). Если на измерима относительно , то можно заменить на . В случае получаем формулу

Таким образом, если не имеет сингулярного слагаемого, то интеграл Лебега—Стилтьеса от по выражается через интеграл Лебега. Если есть промежуток то формулы (47) и (48) можно написать в виде

причем, например, в последней формуле считается суммируемой по неопределенному интегралу от . Положим, что абсолютно непрерывные функции, т. е.

где суммируемы на Пользуясь формулой можем написать

причем интегралы, стоящие справа, суть обычные интегралы Стилтьеса, поскольку непрерывны и ограниченной вариации. Для правой части мы имеем формулу [2]

и, подставляя в предыдущую формулу, получаем формулу интегрирования по частям.

Из (50) непосредственно следует, что для суммы подынтегральная функция равна Полагая в получаем

т. е.

Нетрудно рассмотреть совершенно аналогично и случай бесконечного промежутка.