201. Расширение замкнутого симметричного оператора.

В дальнейшем будем считать А замкнутым симметричным оператором. Докажем две основные для дальнейшего теоремы.

Теорема 1. Согласно формулам

линеал D (А) элементов преобразуется биоднозначно в некоторые подпространства причем, если у и z — элементы этих подпространству соответствующие одному и тому же из D(А), то дистрибутивный оператор U, преобразующий у в z:

преобразует биоднозначно в с сохранением нормы и скалярного произведения:

Мы имеем

откуда, с силу симметричности А, следует

Покажем, что формула (119) при различных дает различные у. Если бы различные из давали бы одно и то же то их разность давала и нам надо показать, что из следует Но это непосредственно вытекает из (123). Таким образом, формула (119) переводит биоднозначно в некоторый линеал . Докажем, что он замкнут, т. е. что это есть некоторое подпространство. Принимая во внимание (123), получаем откуда следует, что ограничен. Но в [184] мы показали, что если некоторый оператор В замкнут и на существует ограниченный обратный то подпространство. Таким образом доказано, что — подпространство. Совершенно так же из формулы

аналогичной (123), следует, что формула (120) переводит биоднозначно в некоторое подпространство . Взяв у и соответствующие одному и тому же мы имеем вполне определенное дистрибутивное преобразование (122), переводящее биоднозначно в причем формулы (123) и (1231) могут быть записаны в виде или Отсюда вторая из формул (122) доказывается совершенно так же, как и для унитарных операторов [137], и теорема таким образом доказана.

Отметим, что если А есть самосопряженный оператор, то, в силу того, что суть регулярные точки совпадают с Н [189] и U есть унитарное преобразование. Если оба указанных подпространства, или по крайней мере одно из двух, не совпадают с то U называется обычно изометрическим оператором, т. е. дистрибутивный оператор U, определенный на некотором подпространстве L и переводящий его биоднозначно в другое подпространство L" с сохранением нормы элементов (и тем самым скалярного произведения), называется изометрическим оператором. Обратный оператор переводящий L" в есть, очевидно, также изометрический оператор. Если L и L" совпадают с то - унитарный оператор, определенный во всем Н. Формулы переводят биоднозначно в и из них следуют формулы

первая из которых переводит биоднозначно в D(А). Если мы заменим у на что приводит к тому же линеалу элементов у, то получим более простые формулы

первая из которых по прежнему переводит биоднозначно в , а вторая дает соответствующий элемент Отметим, что линеал определенный формулой (124), плотен в Н. Изометрический оператор U называется преобразованием Кэли замкнутого симметричного оператора Л. Докажем теперь теорему, в известном смысле обратную предыдущей.

Теорема 2. Если U — изометрический оператор, переводящий подпространство L в подпространство и формула (124) для принадлежащих L, определяет линеал l, плотный в Н, то формула (125) определяет на l замкнутый симметричный оператор причем U есть преобразование Кэли для А, a L и L" совпадают с

Прежде всего нам надо показать, что формула (124) при различных у из V дает различные , т. е., как и выше, нам надо показать, что из следует, что Составим скалярное произведение . Если мы докажем, что оно равно нулю для любого из то, поскольку этот линеал плотен в Н, мы можем утверждать, что Итак:

или, в силу изометричности U:

что и требовалось доказать. Имея какое-либо из мы, согласно формуле (124), имеем определенное у из и по формуле (125) получаем определенное Таким образом, построен дистрибутивный оператор А. Пусть f и два элемента соответствующие элементы V. Пользуясь изометричностью получаем:

Тот же самый результат мы получим, раскрывая а потому А

есть симметричный оператор. Докажем замкнутость А. Пусть из таковы, что

Нам надо показать, что . Обозначим через элементы соответствующие т. е.

из этих равенств следует, что

Обозначая для краткости письма этот предел через у, можем утверждать, что L, ибо U есть подпространство, и что ибо U есть изометрический оператор и, следовательно, Переходя в формулах (127) к пределу, получаем где , т. е. что и требовалось доказать. Наконец, из формул (124) и (125) при замене на следует

откуда и вытекает непосредственно, что U есть преобразование Кэли для А, и что LF и U суть теорема доказана.

Доказанные теоремы приводят непосредственно к выяснению возможности расширения замкнутого симметричного оператора А. Пусть В — замкнутое симметричное расширение A (не совпадает с А). При этом правые части формул

определены на линеале более широком, чем а для элементов принадлежащих D(А), они дают тот же результат, что и правые части формул (119) и (120). Таким образом, подпространства строго шире подпространств и если обозначить через V преобразование Кэли оператора В, то можно утверждать что V переводит LB) в и на совпадает с т. е. изометрический оператор V есть расширение изометрического оператора U. Пользуясь теоремой 2, мы можем утверждать что и, наоборот, всякое расширение изометрического оператора приводящее к изометрическому же оператору V, дает, согласно формулам

замкнутый симметричный оператор В, являющийся расширением А. Согласно сказанному выше, только таким

путем и можно получать расширения А, являющиеся замкнутыми симметричными операторами.

Если А — самосопряженный оператор, то суть все и расширение невозможно.