156. Коммутирующие операторы.

Рассмотрим вопрос о коммутирующих самосопряженный операторах.

Теорема Для того чтобы два самосопряженных оператора А и В коммутировали, необходимо и достаточно, чтобы их спектральные функции и коммутировали при любых X и .

Мы знаем, что спектральная функция любого самосопряженного оператора С коммутирует с С и любым оператором, коммутирующим с С [143]. Отсюда следует, что если , то коммутирует с А, а потому коммутирует с F Наоборот, если коммутируется то суммы Римана — Стилтьеса в интегральном представлении операторов А и В коммутируют, а потому и сами эти операторы коммутируют.

Теорема 2. Если самосопряженные операторы А, В и С, имеющие чисто точечный спектр, попарно коммутируют, то имеется замкнутая ортогональная нормированная система элементов, являющихся собственными элементами каждого из указанных операторов.

Пусть спектральные функции указанных операторов. В силу теоремы 1, они попарно коммутируют. Пусть и v — какие-либо собственные значения операторов А, В и подпространства соответствующих собственных элементов и — проекторы в эти подпространства. Эти проекторы попарно коммутируют, а потому их произведение

есть проектор в подпространство которое состоит из элементов, общих и [140). Если возьмем два различных таких подпространства и то крайней мере одна из пар чисел состоит из различных чисел. Пусть, например . При этом, если то суть собственные элементы А, соответствующие различным собственным значениям, а поюму они взаимно орююнальны. Таким

образом, подпространства попарно ортогональны. Покажем, что их ортогональная сумма есть все Н. Для этого достаточно показать, что не существует элемента, отличного от нулевого, который был бы ортогонален ко всем подпространствам т. е. достаточно доказать, что если элемент отличен от нулевого, то он не ортогонален по крайней мере одному из Для подпространств это очевидно, ибо по условию А, В и С имеют чисто точечные спектры, а потому ортогональная сумма, например, есть все Н. Возьмем элемент Согласно только что сказанному, существует такое собственное значение X оператора что . Далее, опять по тем же соображениям, существует такое собственное значение оператора что , и такое собственное значение v оператора С, что откуда и следует, что не ортогонален . Таким образом, ортогональная сумма есть все . Если в каждом R возьмем замкнутую ортогональную нормированную систему, то получим ортогональную нормированную систему, замкнутую в , и каждый элемент ее, принадлежащий некоторому является собственным элементом каждого из операторов А, В и С. Теорема совершенно так же доказывается и для любого конечного числа попарно коммутирующих самосопряженных операторов. Выше мы видели, что различные функции одного и того же самосопряженного оператора суть коммутирующие операторы [155]. Мы докажем теперь обратное утверждение для того случая, когда заданные операторы имеют чисто точечный спектр.

Теорема 3. Если самосопряженные операторы А, В и С, имеющие чисто точечный спектр, попарно коммутируют, то они являются функциями одного и того же самосопряженного оператора

Пространство предполагается сепарабельным. Согласно теореме 2 имеется замкнутая ортогональная нормированная система элементов

являющихся собственными элементами А, В и С, т. е.

Положим и пусть любой элемент. Он разлагается по элементам

и мы определим самосопряженный оператор D, полагая

Ряд, стоящий справа, очевидно, сходится, ибо раз числа образуют сходящийся ряд, то числа и подавно образуют сходящийся ряд. Из этого определения непосредственно следует, что суть собственные элементы D, соответствующие собственным значениям , т. е. D имеет чисто точечный спектр. Мы можем построить ограниченную функцию , которая в точках равна и непрерывна везде, кроме, может быть, точки Точно так же можем построить с аналогичными свойствами так, что так, что Для функций мы можем, согласно результатам предыдущего параграфа, построить соответствующие опера юры Оператор имеет собственные элементы

и собственные значения причем образуют замкнутую систему. Такие же собственные значения и собственные элементы имеет оператор А. Но если два оператора с чисто точечными спектрами имеют одинаковые собственные значения и соответствующие им собственные элементы, то из их интегральных представлений через спектральную функцию следует, что они совпадают, т. е. Совершенно аналогично теорема доказана. Отметим, что она совершенно так же доказывается для случая любого конечного числа самосопряженных операторов. Теорему можно доказать и для того случая, когда спектры операторов и не чисто точечные, но мы на этом не останавливаемся (J. Neumann, Annals of Math., т. 32, 1931 г.).