214. Бесконечные матрицы.

В [200] мы рассмотрели интегральные операторы, ядра которых удовлетворяют условиям (107) и (108). Совершенно аналогично можно рассмотреть операторы в

осуществляемые такими матрицами, что и выполняются условия

При этом ряды (178) абсолютно сходятся для любого элемента из но ряд, составленный из не обязательно сходится, т. е. может не быть элементом из Обозначим через линеал таких из что

и через D(В) линеал таких что . Можно показать, как и в [200], что повсюду плотен в и что Обозначая далее через оператор, определённый в формулами (178), и через В оператор, определённый в теми же формулами, можем утверждать, что симметричный оператор и что Отметим, что, в силу (179), все орты принадлежат и даже Для того чтобы В был самосопряжённым,

необходимо и достаточно, чтобы для любых и у из выполнялось равенство

причём, в силу мы имеем:

Симметричный оператор может оказаться и незамкнутым, и мы введём ещё новый оператор А, который является, как мы покажем, замыканием Пусть линеал таких из что

для любых у из — оператор, выражаемый формулами (178) на . С другой стороны, определено на линеале таких элементов что для любых у из и, в силу выражается через по формулам (178), т. е. . Сравнивая это с определением А, мы видим, что А совпадает с А. Но есть замыкание т. е. А есть замыкание Выясним одно свойство линеала и оператора А. Назовём «конечным элементом» всякий элемент из который имеет конечное число составляющих отличных от нуля. Пусть линеал «конечных элементов» и А — оператор (178), определённый на этом линеале. В силу этот оператор симметричен, и любой элемент входит, очевидно, в следовательно, обозначая через А замыкание А, будем иметь , а потому Пусть - орт с номером k. Любой элементу из должен удовлетворять равенству , причём Обозначая через и у составляющие у и у, можем написать упомянутое равенство в виде:

откуда видно, что . Сравнивая этот результат с мы видим, что , а потому мы имеем и, следовательно, . Этот результат может быть формулирован следующим образом:

Теорема. Вели то существует последовательность «конечных, элементов» такая, что

Самосопряженность А сводится к тому, что . Если это не так, то индексы дефекта оператора А определятся размерностью подпространств, образованных решениями уравнений и мы можем применять изложенную выше теорию расширения оператора. Покажем ещё, что если матрица вещественна и комплексный элемент принадлежит то также принадлежат а потому и Действительно, в силу доказанной теоремы, существует такая последовательность — «конечных элементов», что откуда следует Принимая во внимание, что получим наше утверждение.