53. Комплексные суммируемые функции.

Нетрудно ввести понятие суммируемых функций и определить интеграл и для функции принимающей комплексные значения. Разделим у такой функции вещественную и мнимую части

Функция называется суммируемой, если суммируемы и интеграл от определяется в этом случае формулой

В данном случае имеет место доказанная выше теорема: для того чтобы была суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы модуль был суммируемой функцией.

Заметим прежде всего, что в силу измеримости будет измеримой и сумма квадратов этих функций, а потому и арифметическое значение квадратного корня из этой суммы, т. е. что непосредственно следует из формулы

Далее из неравенств

и свойств 9 и 1 из [51] непосредственно следует, что суммируемость равносильна суммируемости откуда и следует непосредственно приведенное выше утверждение.

Далее имеют место указанные выше свойства 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10, а при составлении линейной комбинации функций можем применять комплексные постоянные коэффициенты Остановимся лишь на доказательстве свойства 3:

Функции и V суммируемы, а потому для этих трех функций суммы , соответствующие их последовательности

подразделений Лебега, стремятся к интегралам от этих функций. Если мы возьмем последовательность подразделений то суммы для функций и подавно будут стремиться к соответствующим интегралам. Если есть подразделение на части и какие-либо точки из то мы имеем

и в пределе получается (55).