144. Формула для резольвенты и характеристика регулярных значений «лямбда»

Пользуясь спектральной функцией, мы можем дать формулу для резольвенты [130] и указать новую характеристику регулярных значений X. В дальнейшем будем говорить о резольвенте лишь при регулярных значениях

Теорема 1. Если l — невещественное число или вещественное, из лежащее вне промежутка , то резольвента оператора А определяется формулой:

При условиях теоремы функция непрерывна в промежутке при достаточно малом . Пользуясь формулой (214), мы можем написать

но

и (222) непосредственно приводит к (221).

Теорема 2. Если l принадлежит промежутку , но находится внутри некоторого промежутка в котором постоянна, резольвента существует и выражается формулой (221).

Разобьем на три части: . На промежутках функция непрерывна, а на промежутке постоянна, и для этого промежутка все операторы суть операторы аннулирования. Продолжим функцию из крайних промежутков в средний так, чтобы она оказалась непрерывной во всем промежутке Обозначим построенную таким образом функцию через . Значение интеграла

не зависит, очевидно, от значений на промежутке . Пользуясь формулой (214), мы можем написать

и, принимая во внимание, что при и что постоянна на промежутке получим

откуда и следует, что (223) дает резольвенту. Вместо интеграла (223) мы можем, очевидно, взять интеграл (221), производя интегрирование от до а и от до М. Из доказанной теоремы следует, что значение принадлежащее , регулярно, если его можно покрыть промежутком постоянства . В следующей теореме мы покажем, что это условие не только достаточно для регулярности, но и необходимо.

Теорема 3. Если при вещественном значении существует резольвента то l находится внутри некоторого промежутка в котором постоянно.

Пусть любой промежуток, содержащий l внутри себя, . Согласно определению резольвенты, . Но, в силу (216), можем написать

и, таким образом,

Обозначим через N норму оператора

На промежутке мы имеем , и, в силу (203), неравенство (224) приводит к неравенству

Выберем промежуток содержащий l внутри себя, настолько малым, чтобы имело место неравенство . При этом из неравенства (225) будет непосредственно следовать, что и промежуток оказывается промежутком постоянства . Сопоставляя теоремы 2 и 3, приходим к следующему следствию:

Следствие. Для регулярности вещественного значения X необходимо и достаточно, чтобы X заключалось внутри некоторого промежутка постоянства

Из этого следствия непосредственно вытекает, что если некоторое вещественное значение X регулярно, то все вещественные значения X, к нему достаточно близкие, также регулярны, т. е. регулярные значения X образуют открытое множество на вещественной оси, и, следовательно, приходим еще к следствию: точки спектра образуют замкнутое множество.

Напишем формулу билинейного функционала для оператора :

В этом интеграле мы можем за промежуток интегрирования взять промежуток есть функция ограниченной вариации от X. Полагая и применяя формулу обращения интеграла Коши — Стилтьеса [30], мы получим следующее выражение спектральной функции через резольвенту:

Если X — точка непрерывности , то левая часть написанной формулы равна . В точках разрыва значение определяется по непрерывности справа. Отметим, что резольвента определяется через сам оператор А, тем самым из формулы (227) следует, что у заданного самосопряженного оператора А имеется только одна спектральная функция, через которую он выражается формулой (204). Отметим еще, что в силу теоремы 1, из [143] операторы при различных l коммутируют.