111. Случай звездной области.

Выше мы показали [109] при помощи средних функций, что для всякой из имеющей обобщенную производную также из существует последовательность l раз непрерывно дифференцируемых в D функций таких, что . (Здесь, как и раньше, любая строго внутренняя подобласть D). Мы покажем теперь, что для одного важного класса областей аналогичная аппроксимация функций возможна и в пространстве

Назовем область D областью звездного типа, если существует такая внутренняя точка области, что всякий радиус-вектор, выходящий из пересекает границу только в одной точке. Говорят также, что такая область звездна относительно точки

Теорема. Пусть область D — звездного типа и пусть имеет в О обобщенную производную причем принадлежат . Тогда существует последовательность раз непрерывно дифференцируемых в D функций таких, что сходятся к .

Мы говорим о раз непрерывно дифференцируемых в D функциях если непрерывны в D, непрерывно дифференцируемы внутри D до порядка и их производные могут быть доопределены на границе D так, что получаются функции, непрерывные в D.

Примем упомянутую выше точку за начало координат и построим последовательность функций .

определенных внутри областей содержащих D строго внутри себя, причем получается из D преобразованием подобия с коэффициентом подобия .

Обозначим и покажем, что функции сходятся в , а обобщенные производные сходятся в Установим, например, второе утверждение. Мы имеем

Расстояние между точками не превосходит , где диаметр D, и, следовательно, стремится к нулю равномерно в D. Повторяя рассуждение теоремы о непрерывности в среднем [70], мы убеждаемся в том, что второе слагаемое правой части последнего неравенства стремится к нулю при .

В первом слагаемом множитель стремится к нулю, а второй множитель, в силу сказанного выше, сходится к (непрерывность нормы). Еще проще устанавливается сходимость . Заметим теперь, что при фиксированном k область D является строго внутренней по отношению к и потому средние функции сходятся к а их производные сходятся к при Отсюда следует, что функции можно аппроксимировать в метрике бесконечно дифференцируемыми в D функциями при подходящем выборе последовательности Функции можно принять за функции указанные в формулировке теоремы. Теорема доказана.