206. Сравнение полуограниченных операторов.
Пусть А и В — полуограниченные самосопряженные операторы. Говорят, что А не меньше В, и пишут
, если
и
Если А и В имеют чисто точечный спектр и собственные значения А и В можно пронумеровать в порядке их неубывания, учитывая их кратность, то, перенося минимо-максимальный принцип [136] на случай неограниченных операторов, можно показать, что
где
собственное значение А и В. Мы докажем несколько более общую теорему.
Теорема. Пусть
и спектр В, расположенный на полупрямой
при некотором
, состоит из собственных значений конечной кратности, которые не имеют точек сгущения, меньших
. При этом спектр А обладает тем же свойством и
на упомянутой полупрямой.
Достаточно показать, что при любом
, причем В отлично от собственных значений А и
размерность подпространства, соответствующего проектору
, не больше размерности подпространства, соответствующего проектору
где
спектральные функции А и В:
Предположим, что имеет место обратное неравенство. При этом в
должен существовать нормированный элемент
ортогональный ко всему
. Отметим, что
и тем самым
ибо
из
Мы имеем
С другой стороны, в силу
имеем
Но, поскольку
постоянно в некоторой окрестности точки
существует такое
что
Это неравенство противоречит (151) и (153), и тем самым неравенство (152) доказано.
Замечание. Вернемся к симметричным полуограниченным операторам. Пусть А — такой оператор (не обязательно определенно положительный). Определим для него пространство
Пусть а — любое число, удовлетворяющее неравенству
, так что оператор
положительно определенный. Будем считать, что На состоит из всех элементов На
и введем в На билинейный функционал
который является расширением
на все На
Функционал
непрерывен на НА. Нетрудно показать, что
где
- спектральная функция самосопряженного оператора А. Отметим еще, что На
состоит при всех а
из одних и тех же элементов. Это следует из того, что
не зависит от а, и при всех
нормы
эквивалентны. Отметим, что оператор А может быть и самосопряженным.
Нетрудно показать, что условие (151) равносильно условию
а также тот факт, что спектр самосопряженного оператора А на полупрямой
где роль
указана в теореме, можно найти как последовательные нижние грани
при
при условии ортогональности
к уже найденным собственным элементам
Можно заменить эту задачу на задачу последовательных минимумов
при
На и