115. Интегральные операторы с полярным ядром.

Мы переходим теперь наложению доказательств теорем вложения, о которых мы говорили в предыдущем параграфе. Предварительно нам надо рассмотреть некоторый класс интегральных операторов с полярным ядром. Как обычно, через D обозначим ограниченную область -мерного пространства Пусть сфера радиуса единица в (размерности ) и площадь этой сферы. Для элемеша объема в имеем формулу где

Теорема 1. Пусть ограниченное при и непрерывное при ядро. Интегральный оператор

вполне непрерывен (и тем самым ограничен) как оператор из

По условию где В — постоянная. По неравенству Г ельдера:

где — шар радиуса R с центром в начале координат, содержащий Переходя к сферическим координатам с началом в точке получим

и, следовательно,

Эта оценка показывает, что если , где С — некоторая постоянная, то соответствующие функции и равномерно ограничены в D. Для доказательства теоремы достаточно показать, что они равностепенно непрерывны. Пусть достаточно малое число и множество тех точек

для которых . Для получим

причем мы считаем При любом заданном существует такое , что абсолютное значение разности, входящей в первый интеграл, , рели . Применяя неравенство Гёльдера, получим для первого интеграла оценку где мера D. Второй интеграл можно оценить по неравенству (167) при а третий интеграл не превосходит интеграл от соответствующей подынтегральной функции по той части шара

которая принадлежит и оценка этого интеграла также получается из при

откуда, ввиду произвольности выбора b и , и следует равностепенная непре рывность при . Тем теорема доказана,

Теорема 2. Пусть целое число или, что то же . Интегральный оператор (165) вполне непрерывен как оператор из где какое-либо -мерное плоское сечение и q — любое число, удовлетворяющее неравенству

Предполагая, что определено в области содержащей D внутри себя, и обладает в указанными выше свойствами, получаем, кроме того:

где — фиксированный вектор, а непрерывна при , где - некоторое положительное число, равна нулю при и определяется постоянной В, а также размерами D и При за можно брать любую подобласть

Замечание. Можно не предполагать, что определено в более широкой области но при этом в формуле (168) надо считать сдвиги допустимыми, т. е. такими, что точки , находятся в Р, Отметим также что при показатель любой.

Доказательство разобьем на две части.

Лемма 1. При указанных условиях оператор (165) ограничен как оператор из .

Из условий теоремы следует, что и будем пока считать, . Мы имеем

Положим

Пользуясь дважды неравенством Гёльдера, придем к следующему неравенству с тремя множителями;

Применяя его к интегралу, стоящему в правой части следующей очевидной оценки:

причем продолжена нулем на часть шара, лежащую вне получим

Второй множитель справа есть Третий оценивается известным образом: Р

откуда

И

где дифференциал относится к . Меняем порядок интегрирования и оцениваем внутренний интеграц по который берется при постоянном у. Заметим сперва, что

Вводя в сферические координаты, центр которых есть проекция у на получим ибо . Отсюда

и, в силу (169):

где

не зависит от размеров D.

Мы считали . Если взять , то достаточно использовать неравенство

мера , которое непосредственно следует из неравенства Гёльдера, и в выражение С войдет еще множитель

Лемма 2. Оператор (165) непрерывен по сдвигу в указанном в реме 2 смысле.

Как и в теореме 1

причем, как и выше, При заданном существует такое что при мы имеем

и многоточие — сумма норм второго и третьего слагаемых правой части формулы (173). Для этих норм мы имеем оценку (170) при так что

где

При в выражении добавляется еще один множитель.

Для доказательства теоремы 2 остается показать, что, при где А — постоянная, получайся компактное в множество функций и Ограниченность и следует из а равностепенная непрерывность в из (174), если считать, что леэкит и принять

во внимание, что упомянутое выше число , которое определялось по , зависит от ядра , но зависит от . Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть ограниченные ядра при и непрерывные при . Тогда интеграл

при представим в виде

где обладает теми же свойствами, что и

Пусть Разобьем D на две части; так, чтобы из двух точек содержала только точку только . Выбирая так, что и принимая в операторе мы на основании теоремы 1 можем утверждать, что интеграл (175), взятый непрерывная функция . Аналогично и для интеграла по . Таким образом, непрерывность при доказана.

Для доказательства (176) достаточно доказать неравенство

где С — положительная постоянная.

I. Пусть Обозначим и введем новые координаты

так что Обозначая, как обычно, через все -мерное пространство, получим

При бычислении интеграла по поместим начало в точку .v и ось направим из в . При этом получим

где имеет координаты . Последний интеграл сходится, ибо и, очевидно, не зависит от откуда и следует;

2. Случай . Вводя шар с центром в начале и радиусим , содержащий D, и вводя те же координаты, что и выше, получим

В последнем интеграле мы увеличили радиус вдвое, но зато можем интегрировать по-прежнему по шару с центром в начале координат. Положительное b можем считать достаточно малым. Пусть . Интеграл по разбиваем на два: по и по Интегрирование по дает некоторую положительную постоянную Остается оценить интеграл:

В силу получим, обозначая

или, в силу ,

Окончательно

откуда и следует оценка (178) при .

3. Исследования случая в основном то же, что и предыдущего. Отметим, что при этом интеграл сходится (178) и при x = z. Совершенно так же, как и в предыдущем случае, имеем оценку:

т. е. мы имеем оценку

и теорема 3 доказана.