для которых
. Для
получим
причем мы считаем При любом заданном
существует такое
, что абсолютное значение разности, входящей в первый интеграл,
, рели
. Применяя неравенство Гёльдера, получим для первого интеграла оценку
где
мера D. Второй интеграл можно оценить по неравенству (167) при
а третий интеграл не превосходит интеграл от соответствующей подынтегральной функции по той части шара
которая принадлежит
и оценка этого интеграла также получается из
при
откуда, ввиду произвольности выбора b и
, и следует равностепенная непре рывность
при
. Тем
теорема доказана,
Теорема 2. Пусть
целое число
или, что то же
. Интегральный оператор (165) вполне непрерывен как оператор из
где
какое-либо
-мерное плоское сечение и q — любое число, удовлетворяющее неравенству
Предполагая, что
определено в области
содержащей D внутри себя, и обладает в
указанными выше свойствами, получаем, кроме того:
где
— фиксированный вектор, а
непрерывна при
, где
- некоторое положительное число, равна нулю при
и определяется постоянной В, а также размерами D и
При
за
можно брать любую подобласть
Замечание. Можно не предполагать, что
определено в более широкой области
но при этом в формуле (168) надо считать сдвиги
допустимыми, т. е. такими, что точки ,
находятся в Р, Отметим также что при
показатель
любой.
Доказательство разобьем на две части.
Лемма 1. При указанных условиях оператор (165) ограничен как оператор из
.
Из условий теоремы следует, что
и будем пока считать,
. Мы имеем
Положим
Пользуясь дважды неравенством Гёльдера, придем к следующему неравенству с тремя множителями;
Применяя его к интегралу, стоящему в правой части следующей очевидной оценки:
причем
продолжена нулем на часть шара, лежащую вне
получим
Второй множитель справа есть
Третий оценивается известным образом: Р
откуда
И
где дифференциал
относится к
. Меняем порядок интегрирования и оцениваем внутренний интеграц
по
который берется при постоянном у. Заметим сперва, что
Вводя в
сферические координаты, центр которых есть проекция у на
получим
ибо
. Отсюда
и, в силу (169):
где
не зависит от размеров D.
Мы считали
. Если взять
, то достаточно использовать неравенство
мера
, которое непосредственно следует из неравенства Гёльдера, и в выражение С войдет еще множитель
Лемма 2. Оператор (165) непрерывен по сдвигу в указанном в
реме 2 смысле.
Как и в теореме 1
причем, как и выше,
При заданном
существует такое
что при
мы имеем
и многоточие — сумма норм второго и третьего слагаемых правой части формулы (173). Для этих норм мы имеем оценку (170) при
так что
где
При
в выражении
добавляется еще один множитель.
Для доказательства теоремы 2 остается показать, что, при
где А — постоянная, получайся компактное в
множество функций и
Ограниченность и
следует из
а равностепенная непрерывность в
из (174), если считать, что
леэкит
и принять
во внимание, что упомянутое выше число
, которое определялось по
, зависит от ядра
, но зависит от
. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть
ограниченные ядра при
и непрерывные при
. Тогда интеграл
при
представим в виде
где
обладает теми же свойствами, что
и
Пусть
Разобьем D на две части;
так, чтобы
из двух точек
содержала только точку
только
. Выбирая
так, что
и принимая в операторе
мы на основании теоремы 1 можем утверждать, что интеграл (175), взятый
непрерывная функция
. Аналогично и для интеграла по
. Таким образом, непрерывность
при
доказана.
Для доказательства (176) достаточно доказать неравенство
где С — положительная постоянная.
I. Пусть
Обозначим
и введем новые координаты
так что
Обозначая, как обычно, через
все
-мерное пространство, получим
При бычислении интеграла по
поместим начало в точку .v и ось
направим из
в
. При этом получим
где
имеет координаты
. Последний интеграл сходится, ибо
и, очевидно, не зависит от
откуда и следует;
2. Случай
. Вводя шар с центром в начале и радиусим
, содержащий D, и вводя те же координаты, что и выше, получим
В последнем интеграле мы увеличили радиус вдвое, но зато можем интегрировать по-прежнему по шару с центром в начале координат. Положительное b можем считать достаточно малым. Пусть
. Интеграл по
разбиваем на два: по
и по
Интегрирование по
дает некоторую положительную постоянную
Остается оценить интеграл:
В силу
получим, обозначая
или, в силу
,
Окончательно
откуда и следует оценка (178) при
.
3. Исследования случая
в основном то же, что и предыдущего. Отметим, что при этом интеграл сходится (178) и при x = z. Совершенно так же, как и в предыдущем случае, имеем оценку:
т. е. мы имеем оценку
и теорема 3 доказана.