16. Линейные операторы в С.

Перейдем к определению оператора в пространстве С. Оператором в С назовем всякий определенный закон, согласно которому любому элементу из С сопоставляется определенный элемент тоже из С.

Введем для оператора обозначение Для любой функции из С символ определяет некоторую функцию также из С. Дистрибутивность оператора определяется так же, как и дистрибутивность функционала, т. е. формулой, аналогичной формуле (87). Ограниченность определяется формулой, аналогичной формуле (88), но только вместо абсолютного значения в левой части надо писать норму, поскольку есть не число, а элемент из С:

Дистрибутивный и ограниченный оператор называется линейным оператором. Такой оператор будет обязательно непрерывным, т. е. если то и причем в обоих случаях сходимость есть равномерная сходимость соответствующей последовательности функций в

Приведем без доказательства основной результат, касающийся общей формы линейного оператора в С. Пусть функция, определенная на замкнутом двумерном промежутке ограниченной вариации по на промежутке [0, 1], при любом значении у из промежутка Подставляя эту функцию в правую часть формулы (96), мы получим в результате интегрирования уже не число, а некоторую функцию параметра у, определенную на промежутке [0, 1]:

Для того чтобы написанная формула давала линейный оператор, необходимо и достаточно, чтобы функция кроме вышеупомянутых свойств, обладала еще и таким свойством, что функция определяемая указанной формулой, являлась бы непрерывной функцией на промежутке [0, 1] при любом выборе функции непрерывной на [0, 1]. Если есть какое-либо значение из промежутка [0, 1], и последовательность чисел из промежутка [0, 1], имеющая своим пределом, то определение непрерывности в точке приводит нас непосредственно к следующему необходимому условию, которому должна удовлетворять функция для любого из промежутка [0, 1] и для любой непрерывной функции на этом промежутке должна быть справедлива формула

где — любая последовательность чисел из промежутка [0, 1], имеющая своим пределом. Функции обладающие

таким свойством, называются обычно слабо непрерывными по параметру у. Если ограниченной вариации по и слабо непрерывна по у, то формула (92) дает, очевидно, линейный оператор в С. Можно доказать и обратное предложение, т. е. всякий линейный оператор в С представим по формуле (92), где ограниченной вариации по и слабо непрерывна Доказательство этой теоремы и выяснение понятия слабой непрерывности можно найти в книге В. И. Гливенко «Интеграл Стилтьеса».

Если есть функция, непрерывная на двумерном промежутке то формула

дает, очевидно, линейный оператор в С. С такими операторами мы имели дело в теории интегральных уравнений. Но не всякий оператор в С может быть представлен такой формулой.