ГЛАВА IV. МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

84. Метрическое пространство.

Начало настоящей главы мы посвятим изложению теории некоторых абстрактных пространств, а затем укажем приложения этой теории к различным конкретным пространствам — главным образом к функциональным пространствам, т. е. к множествам функций определенного класса. Одно и то же абстрактное пространство может иметь несколько различных конкретных осуществлений, и изложение теории абстрактных пространств является поэтому целесообразным.

Всякое абстрактное пространство есть непустое множество элементов, которое подчиняется некоторым аксиомам. Природа элементов не определяется, и теория какого-либо абстрактного пространства есть следствие тех аксиом, которые определяют это пространство. Мы будем, для связности изложения, сначала полностью проводить теорию абстрактного пространства, а в конце — применения этой теории при различных конкретных осуществлениях этого пространства. Начнем с теории так называемых метрических пространств.

Множество X элементов, которые мы будем обозначать последними буквами латинского алфавита (. и т. д.), называется метрическим пространством, если в нем, каждой паре элементов х, у сопоставляется неотрицательное число (х,у) (расстояние между х и у), причем имеют место следующие условия:

1. , причем знак тогда и только тогда, когда , т. е. х и у — один и тот же элемент;

2. - аксиома симметрии; (1)

3. - аксиома треугольника. (2)

Эти условия должны иметь место для любых элементов .

Если какие-либо элементы то применяя несколько раз (2), получаем

Пусть некоторая бесконечная последовательность элементов и пусть существует такой элемент что при . При этом говорят, что есть предел последовательности и пишут или Нетрудно видеть,

что последовательность не может иметь более одного предела. Действительно, пусть Надо доказать, ЧТО . По (2) имеем . При беспредельном возрастании правая часть стремится к нулю, и в пределе получаем и из этих двух неравенств следует, что и, следовательно, . Если , то очевидно, что и всякая бесконечная подпоследовательность

Покажем, что есть непрерывная функция х и у, т. е. если , то .

В силу можем написать

откуда

т. е.

При правая часть стремится к нулю, откуда и следует

Если последовательность имеет предел то при любом заданном существует такое N, что

Это непосредственно следует из неравенства правая часть которого стремится к нулю при . Но из (3) не следует, на основе принятых аксиом, что последовательность имеет предел (достаточность признака Коши существования предела не имеет места). Если ввести дополнительное требование, что из (3) следует существование предела у последовательности то такое метрическое пространство называется полным метрическим пространством.

Пусть U есть некоторое множество элементов метрического пространства. Оно называется ограниченным, если существует такой элемент и такое положительное число А, что , для всех из U. Пусть какой-либо фиксированный элемент, отличный от . Мы имеем: и для элементов U получим: , причем в правой части этого неравенства стоит некоторое положительное число. Таким образом, при определении ограниченности множества U безразличен выбор элемента . Нетрудно показать, что если последовательность имеет предел, то множество элементов ограничено.

Элемент называется предельным элементом множества U элементов если существует такая последовательность элементов из что Множество U, содержащее все свои предельные элементы, называется замкнутым. Если U незамкнуто, и мы присоединим к нему все его предельные элементы, то новое множество, которое мы обозначим U, — замкнутое множество . Переход от U к U называется замыканием U. Если U замкнуто, то . Если -пустое множество (не содержит ни одного элемента), то и U надо считать пустым. Множество элементов, удовлетворяющих условию где фиксированный элемент и R — положительное число, называется открытой сферой с центром и радиусом R, а в случае неравенства замкнутой сферой.

Нетрудно показать, пользуясь непрерывностью как функции что замкнутая сфера есть замкнутое множество в смысле указанного выше определения.

Отметим, что всякое непустое множество U из X есть также метрическое пространство, если для элементов сохранить то же определение что и во всем X Пространство X может состоять и из конечного числа элементов.

Пусть имеются два метрических пространства А и и пусть между их элементами можно установить биоднозначное соответствие так, что , где и — любые соответствующие элементы X и X. В этом случае X и X называются изомегричными. С точки зрения абстрактной теории, изометричные пространства не имеет смысла различать.