103. Слабая сходимость в ...

Слабая сходимость элементов к элементу (на конечном промежутке определяется равенством

для всякой функции ограниченной вариации Укажем необходимые и достаточные условия этой сходимости: а) существует такое число что при любом

Условие: а) непосредственно следует из [101] Далее, если любое фиксированное значение из любой элемент С, то является, очевидно, линейным функционалом в С, и, поскольку мы должны иметь Теперь надо показать, что из следует (88) при любом выборе функции ограниченной вариации . В силу предельный переход в (88) допустим, если рассматривать интегралы, как интегралы Лебега — Стилтьеса [54]. Но, в силу непрерывности эти интегралы можно рассматривать и как обычные интегралы Стилтьеса.

Отметим еще, что в силу теоремы из при соблюдении условий существует такая последовательность линейных комбинаций которая стремится к равномерно на Функции предполагаются, как это указано выше, непрерывными.

Отметим, что нерегулярное пространство С не является слабо полным. Этот факт соответствует тому, что предел последовательности непрерывных функций, сходящихся в каждой точке из и ограниченных в совокупности , может и не быть непрерывной функцией.

2. Слабая сходимость элементов к элементу определяется равенством

для всякой функции . В силу теоремы 3 из [101] необходимые и достаточные условия слабой сходимости в можно сформулировать так: а) нормы ограничены, т. е.

и в) формула (89) имеет место на множестве элементов из линейная оболочка которого повсюду плотна в При выполнении условия (90) достаточно, например, чтобы формула (89) имела место для всех характеристических функций измеримых множеств , входящих в ограниченное множество. Для того случая, когда есть одномерный конечный или бесконечный промежуток, достаточно выполнения условия (90) и равенств

где с — любое фиксированное число из указанного промежутка и произвольное число из этого промежутка.

3. Слабая сходимость элементов к элементу определяется равенством

для любого элемента Сформулируем необходимые и достаточные условия слабой сходимости:

Условие (93) обычно, а необходимость (94) вытекает из (92), если взять при и Положим, что выполнены условия (93) и (94). Из (94) следует, что (92) выполняется на элементах вида пространства . Но линейная оболочка ортов плотна в ибо урезанные элементы, все составляющие которых, начиная с некоторого номера (своего для каждого элемента), равны нулю, плотны в Таким образом, достаточность (93) и (94) вытекает из сказанного в [101].