103. Слабая сходимость в ...
Слабая сходимость элементов 
к элементу 
(на конечном промежутке 
определяется равенством
для всякой функции ограниченной вариации 
Укажем необходимые и достаточные условия этой сходимости: а) существует такое число 
что 
при любом 
Условие: а) непосредственно следует из [101] Далее, если 
любое фиксированное значение из 
любой элемент С, то 
является, очевидно, линейным функционалом в С, и, поскольку 
мы должны иметь 
Теперь надо показать, что из 
следует (88) при любом выборе функции ограниченной вариации 
. В силу 
предельный переход в (88) допустим, если рассматривать интегралы, как интегралы Лебега — Стилтьеса [54]. Но, в силу непрерывности 
эти интегралы можно рассматривать и как обычные интегралы Стилтьеса.
Отметим еще, что в силу теоремы из 
при соблюдении условий 
существует такая последовательность линейных комбинаций 
которая стремится к 
равномерно на 
Функции 
предполагаются, как это указано выше, непрерывными.
Отметим, что нерегулярное пространство С не является слабо полным. Этот факт соответствует тому, что предел последовательности 
непрерывных функций, сходящихся в каждой точке из 
и ограниченных в совокупности 
, может и не быть непрерывной функцией.
2. Слабая сходимость элементов 
к элементу 
определяется равенством
для всякой функции 
. В силу теоремы 3 из [101] необходимые и достаточные условия слабой сходимости в 
можно сформулировать так: а) нормы 
ограничены, т. е.
и в) формула (89) имеет место на множестве элементов 
из 
линейная оболочка которого повсюду плотна в 
При выполнении условия (90) достаточно, например, чтобы формула (89) имела место для всех характеристических функций 
измеримых множеств 
, входящих в 
ограниченное множество. Для того случая, когда 
есть одномерный конечный или бесконечный промежуток, достаточно выполнения условия (90) и равенств
где с — любое фиксированное число из указанного промежутка и 
произвольное число из этого промежутка.
3. Слабая сходимость элементов 
к элементу 
определяется равенством
для любого элемента 
Сформулируем необходимые и достаточные условия слабой сходимости:
Условие (93) обычно, а необходимость (94) вытекает из (92), если взять 
при 
и 
Положим, что выполнены условия (93) и (94). Из (94) следует, что (92) выполняется на элементах вида 
пространства 
. Но линейная оболочка ортов плотна в 
ибо урезанные элементы, все составляющие которых, начиная с некоторого номера (своего для каждого элемента), равны нулю, плотны в 
Таким образом, достаточность (93) и (94) вытекает из сказанного в [101].
