40. Тело В.

Как мы указывали, замкнутое тело зависит от выбора функции . Мы укажем сейчас такое замкнутое тело, что множества, в него входящие, принадлежат любому замкнутому телу и, в частности, принадлежат L. Рассмотрим всевозможные замкнутые тела Т такие, что всякое Т содержит все замкнутые промежутки,

и составим семейство множеств В, состоящее из множеств, принадлежащих всем вышеуказанным замкнутым телам Т. Нетрудно видеть, что семейство множеств В есть также замкнутое тело. Действительно, если и принадлежат В, то они принадлежат всем указанным замкнутым телам Т, а потому и разность входит во все Г, а тем самым и в семейство В. Аналогичным образом проверяется и второй пункт определения замкнутого тела. Таким образом, замкнутое тело есть общая часть всех замкнутых тел, содержащих всевозможные замкнутые промежутки. Это замкнутое тело В входит, очевидно, и в состав каждого ибо это последнее содержит также все замкнутые промежутки. Всякое открытое множество можно, как мы видели [33], представить в виде суммы счетного числа замкнутых промежутков, и, таким образом, замкнутое тело В содержит все открытые множества. Любое замкнутое множество F является дополнением к некоторому открытому множеству О, т. е. может быть представлено в виде разности всей плоскости (открытое множество) и множества О, а потому тело Б содержит и все замкнутые множества. Тело множеств В было впервые рассмотрено еще до Лебега французским математиком Борелем. Множества, принадлежащие телу В, называют иногда множествами измеримыми В или множествами, измеримыми по Борелю.

Тело В может быть определено иначе, чем это мы сделали выше, а именно следующим образом: мы считаем множество g принадлежащим телу В, если оно может быть получено из замкнутых промежутков при помощи следующих двух операций, примененных конечное или счетное число раз: 1) построение суммы конечного или счетного числа множеств, построенных уже раньше; 2) построение произведения конечного или счетного числа множеств, построенных уже раньше. Это определение требует некоторых разъяснений, на которых мы не останавливаемся. Мы не будем также приводить доказательство того, что новое определение тела В равносильно прежнему. Докажем в заключение настоящего параграфа две простые теоремы.

Теорема . Если — любое множество из , то существуют таких два множества принадлежащих телу В (и тем самым телу что

Мы знаем, что для множества g, принадлежащего существуют такие замкнутые множества и открытые множества что

Множества принадлежат телу В. Следовательно, в силу определения замкнутого тела, можно утверждать, что телу В принадлежат сумма множеств и произведение множеств

Принимая во внимание, что мы можем утверждать, что . Кроме того, и, следовательно, при любом .

Левая часть не зависит от , а потому последнее неравенство приводит к равенству (55), и теорема доказана. Ее можно формулировать следующим образом: всякое множество g из может быть заключено между множествами из В, имеющими ту же меру, что и заданное множество

Выделим из тела В некоторое семейство множеств, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

Определение. Множество g называется множеством если оно есть открытое множество или произведение счетного числа открытых множеств.

Отметим прежде всего, что как мы упоминали уже выше [32], произведение счетного числа открытых множеств может и не быть открытым множеством. Из определения множеств непосредственно следует, что произведение конечного или счетного числа множеств есть также множество . Покажем, что всякий конечный замкнутый промежуток есть множество Действительно, мы можем представить его как произведение открытых промежутков где есть последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю. Нетрудно показать, что всякое замкнутое множество есть множество . В дальнейшем это нам не понадобится. Из доказательства приведенной выше теоремы непосредственно вытекает следующее утверждение:

Теорема 2. Всякое измеримое множество g может быть покрыто множеством Н типа таким, что

Отметим еще, что если g принадлежит замкнутому промежутку А, то покрывающее множество Н можно выбрать так, чтобы и оно принадлежало А. Действительно, если Н есть множество покрывающее g и удовлетворяющее условию то множество будет также множеством G, покрывающим g и удовлетворяющим условию причём Н, очевидно, принадлежит А.