178. Преобразования Фурье.

Для промежутка Ватсон рассматривал ядра вида

причем предполагается, что .

Условия (130) принимают вид

а условие (131) выполняется автоматически.

Мы переходим к рассмотрению преобразования Фурье, для которого основным промежутком является и

Модуль числителя не превышает двух, и обе функции принадлежат Легко проверяется условие (131). Проверим условия (130). Они сводятся, как и выше, к одному:

Легко получить формулу (a - вещественно), (142)

применяя дифференцирование по параметру а. Интеграл 1 легко преобразуется к виду:

и применяя формулу (142), получим

откуда и следует формула (141). Таким образом, мы получаем унитарное преобразование Фурье, для которого применим символ в следующем виде:

Преобразованию Фурье можно придать другую форму, которую мы применяли раньше [II; 160].

Положим сначала, что равна нулю вне некоторого конечного промежутка . По условию на

и, тем самым, на так что при любом вещественном у существует интеграл

Нетрудно доказать, что непрерывна и имеет производные. Мы имеем и можем интегрировать по у по конечному промежутку под знаком интеграла:

Сравнивая эту формулу с (143) и принимая во внимание произвольность а и тот факт, что по условию равна нулю вне промежутка можем утверждать, что эквивалентна, т. е. в рассматриваемом случае преобразование Фурье может быть записано в виде

В общем случае интеграл

может не иметь смысла, так как из того, что принадлежит на промежутке не следует, что она принадлежит Рассмотрим функцию которая равна при и нулю при . Как мы видели, преобразование Фурье этой функции выражается формулой

Но в при и, следовательно, Обозначая предел в среднем (в ) символом мы можем записать преобразование Фурье для любой функции из в виде

Если функция принадлежит не только но и на промежутке то при любом вещественном у существует

интеграл (146), который является пределом интеграла (147) при . Но если существует предел в среднем и предел везде, то они совпадают, и следовательно, в рассматриваемом случае преобразование Фурье может быть записано в виде

Все сказанное выше имеет место и для сопряженного (обратного) преобразования. Вместо (148), полагая мы будем иметь

и вместо (149):

Для преобразования Фурье имеет место формула свертывания, которую мы сейчас выведем . Пусть Функция при любом вещественном как функция t принадлежит очевидно, . Определим :

т. е. и, принимая во внимание, что унитарное преобразование не меняет скалярного произведения, можем написать

где

и окончательно

где

Основная теорема совершенно так же может быть доказана и для случая функций миогих переменных. При этом унитарное преобразование Т определяется формулой

и обратное преобразование — формулой

Возвращаясь к случаю одного переменного, отметим еще некоторые свойства преобразования Фурье. Если в (148) заменить на сопоставить с (150) и принять во внимание, что , то получим и аналогично Если четная функция, то и преобразование даст функцию, эквивалентную четной функции, и мы будем иметь

Эти формулы дают унитарное преобразование для функций из L на промежутке . Меняя знак и умножая на i (эти операции суть, очевидно, унитарные преобразования), получаем, в случае нечетных функций, следующие взаимно обратные унитарные преобразования на промежутке :