125. Билинейные и квадратичные функционалы.

Мы укажем сейчас возможность определения любого линейного оператора при помощи особого рода функционала. Назовем билинейным функционалом определенный закон, согласно которому любой паре элементов и у из Н сопоставляется определенное комплексное число причем дистрибутивен по отношению к первому аргументу как функционал первого рода и по отношению ко второму аргументу как функционал второго рода:

Кроме того, считаем билинейный функционал и ограниченным, т. е. считаем, что существует такое положительное число N, что для любых элементов х и у из Н имеет место неравенство

Наименьшее значение N в этом неравенстве — норма билинейного функционала определяется формулой:

Если А — любой линейный оператор, то формула

дает, как нетрудно проверить, билинейный функционал. При этом

так что для билинейного функционала .

Докажем теперь, что формула (45) дает всевозможные билинейные функционалы.

Теорема. Всякий билинейный функционал представим единственным образом формулой (45), где А — некоторый линейный оператор, и норма билинейного функционала равна норме оператора .

Если фиксировать х, то есть функционал второго рода от и мы можем написать , где z определяется единственным образом, если фиксировано х, т. е. z = Ax, где А — некоторый оператор, определенный во всем И. Его дистрибутивность следует непосредственно из (42) и дистрибутивности

по отношению . Докажем ограниченность А. Принимая во внимание (43) при можем написать

Полагая и сокращая обе части полученного неравенства на будем иметь то последнее неравенство очевидно). Отсюда и следует ограниченность оператора А и неравенство Но мы имели выше и, следовательно,

Остается доказать единственность представления (45). Пусть

Отсюда следует, что для любых х и у имеет место равенство Полагая в нем получим т. е. для любого мы имеем операторы А и совпадают, и теорема полностью доказана. Из доказанной теоремы следует, что задание линейного оператора равносильно заданию билинейного функционала. Совершенно аналогично в алгебре задание элементов матрицы равносильно заданию билинейной формы

Всякий билинейный функционал порождает соответствующий ему квадратичный функционал (квадратичная форма), если положить в нем

Нетрудно выразить билинейный функционал через квадратичную форму, которая им порождена, а именно легко проверить следующее равенство:

где

В правой части (46) стоят четыре квадратичных функционала. Вещественность квадратичного функционала для любого элемента является, как мы видели, характерной особенностью самосопряженного оператора.

Положим, что оператор А обладает тем свойством, что для любого элемента . Из (46) при этом следует, что для любых х и у. Но таким свойством, очевидно, обладает

билинейный функционал если А есть оператор аннулирования, и, принимая во внимание единственность, указанную в теореме, мы можем утверждать, что если для любого имеем , то А есть оператор аннулирования. Отсюда непосредственно следует, что если операторы А и В таковы, что при любом имеем то