5. Несобственный интеграл Стилтьеса.

Если непрерывна внутри промежутка и ограничена, а не убывает и непрерывна на концах указанного промежутка, то, как мы видели, интеграл от по на промежутке может быть определен обычным образом, как предел конечных сумм . Положим теперь, что непрерывная внутри Функция неограничена, а по-прежнему не убывает и ограничена. Мы можем для любых конечных а и b составить интеграл от по на промежутке Если при стремлении а к этот интеграл имеет конечный определенный предел, то этот предел

мы и примем за величину интеграла по промежутку

Если выполнены условия, указанные в начале настоящего параграфа, и тем самым интеграл по промежутку существует как предел сумм то нетрудно показать, что имеет место формула (23).

Положим, что интегралы остаются ограниченными при любом выборе а и b. При этом существует интеграл

и, очевидно, существует и интеграл (23) [ср. II; 82], который называется в этом случае абсолютно сходящимся.

Рассмотрим какое-либо разбиение бесконечного промежутка на части точками

Пусть наименьшее и наибольшее значения в промежутке Пользуясь формулой из [4], получаем

и

Положим, что множество чисел имеет конечную точную верхнюю границу . В силу непрерывности мы можем построить в частности такое разбиение (24) бесконечного промежутка, при котором со будет меньше любого

наперед заданного положительного числа. Введем следующие обозначения:

Далее пусть значение для и

Мы имеем, очевидно, . Из (25) следует

и совершенно аналогично

откуда следует

и

Докажем теперь теорему, которая даст. необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости интеграла (23).

Теорема. Для абсолютной сходимости интеграла (23) необходимо и достаточно, чтобы существовало разбиёние с конечным и для него такие числа удовлетворяющие неравенству чтобы ряд

абсолютно сходился. Если это условие выполнено, то ряд (29) сходится при любом разбиении (24) с конечным и любом выборе из промежутка и

Положим, что интеграл (23) абсолютно сходится. При этом неравенство (27) дает для любого разбиения с конечным :

т. е. сумма возрастающая при возрастании остается ограниченной, и, следовательно, ряд (29) абсолютно сходится при любом разбиении (24) с конечными . Далее из (260 непосредственно следует (30). Положим теперь наоборот, ряд (29) абсолютно сходится при некотором разбиении (24) с конечными и при некотором выборе Из (28) непосредственно следует

откуда видно, что интеграл, стоящий слева, остается ограниченным при возрастании и q, т. е. интеграл (23) абсолютно сходится. Но при этом, как мы только что видели, ряд (29) абсолютно сходится при любом разбиении с конечным и любом выборе и имеет место формула (30).

Замечание. Если равномерно непрерывна внутри и — наибольшая из разностей то условие влечет за собой и в формуле (30) вместо мы можем написать . Это обстоятельство будет иметь, например, место, если f(x) = x.