мы и примем за величину интеграла по промежутку 
Если выполнены условия, указанные в начале настоящего параграфа, и тем самым интеграл по промежутку 
существует как предел сумм 
то нетрудно показать, что имеет место формула (23).
Положим, что интегралы 
остаются ограниченными при любом выборе а и b. При этом существует интеграл
и, очевидно, существует и интеграл (23) [ср. II; 82], который называется в этом случае абсолютно сходящимся.
Рассмотрим какое-либо разбиение бесконечного промежутка на части точками 
Пусть 
наименьшее и наибольшее значения 
в промежутке 
Пользуясь формулой 
из [4], получаем
и
Положим, что множество чисел 
имеет конечную точную верхнюю границу 
. В силу непрерывности 
мы можем построить в частности такое разбиение (24) бесконечного промежутка, при котором со будет меньше любого
наперед заданного положительного числа. Введем следующие обозначения:
Далее пусть 
значение 
для 
и
Мы имеем, очевидно, 
. Из (25) следует
и совершенно аналогично
откуда следует
и
Докажем теперь теорему, которая даст. необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости интеграла (23).
Теорема. Для абсолютной сходимости интеграла (23) необходимо и достаточно, чтобы существовало разбиёние с конечным 
и для него такие числа удовлетворяющие неравенству 
чтобы ряд
абсолютно сходился. Если это условие выполнено, то ряд (29) сходится при любом разбиении (24) с конечным 
и любом выборе из промежутка 
и
Положим, что интеграл (23) абсолютно сходится. При этом неравенство (27) дает для любого разбиения с конечным 
:
т. е. сумма 
возрастающая при возрастании 
остается ограниченной, и, следовательно, ряд (29) абсолютно сходится при любом разбиении (24) с конечными 
. Далее из (260 непосредственно следует (30). Положим теперь наоборот, 
ряд (29) абсолютно сходится при некотором разбиении (24) с конечными 
и при некотором выборе Из (28) непосредственно следует
откуда видно, что интеграл, стоящий слева, остается ограниченным при возрастании 
и q, т. е. интеграл (23) абсолютно сходится. Но при этом, как мы только что видели, ряд (29) абсолютно сходится при любом разбиении с конечным 
и любом выборе 
и имеет место формула (30).
Замечание. Если 
равномерно непрерывна внутри 
и 
— наибольшая из разностей 
то условие 
влечет за собой 
и в формуле (30) вместо 
мы можем написать 
. Это обстоятельство будет иметь, например, место, если f(x) = x.
непрерывна внутри промежутка 
и ограничена, а 
не убывает и непрерывна на концах указанного промежутка, то, как мы видели, интеграл от 
по 
на промежутке 
может быть определен обычным образом, как предел конечных сумм 
. Положим теперь, что непрерывная внутри 
Функция 
неограничена, а 
по-прежнему не убывает и ограничена. Мы можем для любых конечных а и b составить интеграл от 
по 
на промежутке 
Если при стремлении а к 
этот интеграл имеет конечный определенный предел, то этот предел
