23. Интеграл Стилтьеса на плоскости.
Нетрудно обобщить понятие интеграла Стилтьеса на случай плоскости. При этом мы встретимся, очевидно, с подразделениями двумерного промежутка на части. Если А — некоторый промежуток плоскости, определяемый промежутками и 
на осях, то мы назогм подразделением А такое разбиение А на частичные промежутки, которое получается при помощи разбиений 
на частичные промежутки. Каждый частичный промежуток 
определяется частичным промежутком из А и частичным промежутком из 
. На черт. 1 указано разбиение полуоткрытого промежутка на шесть частичных промежутков, произведенное указанным образом.
Черт. 1
Черт. 2
На черт. 2 указано разбиение совершенно иного типа. В нем линии деления заканчиваются в середине промежутка А, и оно не может быть получено вышеуказанным путем подразделения промежутков 
. Но легко перейти от подразделения второго типа к подразделению первого типа, продолжив все линии деления, и мы в дальнейшем будем пользоваться только подразделениями первого типа, что не играет существенной роли. Подразделение 
называется продолжением подразделения 
, если подразделения 
, соответствующие 
, являются продолжениями подразделений и 
, соответствующих 
. Если и 
— два подразделения 
, а 
— соответствующие подразделения 
то произведением 
называется такое подразделение, которое определяется подразделениями 
промежутков А. и 
Подразделение 
является, очевидно, продолжением 
. Отметим также, что если А есть промежуток, принадлежащий А, то существуют такие подразделения А, в которых А является одним из частичных промежутков.
Нетрудно построить понятие, аналогичное понятию интеграла Стилтьеса, на случай плоскости, трехмерного пространства или
вообще 
-мерного пространства. Ограничимся случаем плоскости. В остальных случаях построения будут совершенно аналогичными.
Пусть на плоскости дан какой-то конечный промежуток 
и в нем определена равномерно непрерывная и тем самым ограниченная функция точки 
и неотрицательная, аддитивная и нормальная функция промежутков 
. Пусть 
— некоторое разбиение 
на промежутки 
попарно без общих точек. Берем в каждом 
некоторую точку 
и составляем сумму
Как и в 
, можно показать, что эта сумма имеет определенный предел, когда наибольший из диаметров областей 
стремится к нулю. Этот предел и называется интегралом от 
по 
Если 
непрерывна в замкнутом промежутке 
обладает указанным выше свойством, то интеграл Стилтьеса можно определить как предел сумм
где
при беспредельном измельчании промежутков.
Как и в [4], можно показать, что интеграл Стилтьеса существует при предположении, что 
непрерывна внутри 
и ограничена, если G (А) удовлетворяет дополнительному условию, которое мы сейчас укажем.
Пусть А — замкнутые промежутки, лежащие внутри 
которые расширяются и стремятся к 
так, что любая внутренняя точка 
попадет в 
при достаточно больших 
. Мы требуем, чтобы 
Это аналогично непрерывности 
на концах промежутка, которую мы оговаривали в [4].
Интеграл Стилтьеса может быть определен и для всей плоскости 
которую обозначим через Q. Пусть 
-неотрицательная, аддитивная и нормальная функция, определенная для всех промежутков как конечных, так и бесконечных, принадлежащих Q. Пусть 
— последовательность промежутков,
беспредельно расширяющихся по всем направлениям, например, пусть 
. Из нормальности 
следует, что 
при 
. Если 
непрерывна и ограничена в Q, то существует интеграл Стилтьеса (117). При этом последовательность подразделений должна быть такой, чтобы при любом фиксированном 
наибольший диаметр промежутков, имеющих общие точки с 
стремился к нулю.
Областью интегрирования может быть и не промежуток 
, а некоторая область 
которая представляет собой сумму конечного числа промежутков. Мы можем совершать сколь угодно тонкие разбиения на частичные промежутки, составлять суммы (116) и переходить к пределу. Интеграл по 5 сводится к конечной сумме интегралов по промежуткам, на которые можно разбить S, и он, очевидно, не зависит от способа разбиения 
на промежутки.
Свойства двукратного интеграла Стилтьеса совершенно аналогичны указанным нами раньше свойствам простого интеграла.
