ГЛАВА II. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

§ 1. Функции множеств и теория измерения

30. Операции над множествами.

При построении более общего понятия интеграла мы будем разбивать основной промежуток интегрирования не на промежутки, а на точечные множества более общего типа. Кроме того, и основной областью интегрирования будет часто служить нам не промежуток, а некоторое точечное множество более общего типа. Первый параграф настоящей главы и будет посвящен изучению таких множеств «и функций, определенных на таких множествах более общего типа. Мы начнем с изложения основных понятий и основных фактов, касающихся не только точечных множеств, но и множеств, состоящих из любых элементов. Для таких общих множеств введем сначала некоторые основные понятия и обозначения, которыми мы в дальнейшем будем широко пользоваться. Главным образом будем пользоваться точечными множествами, т. е. множествами, элементы которых суть точки или прямой, или плоскости, или вообще многомерного пространства.

Если элемент принадлежит множеству А, то это записывают в виде А. Если же не принадлежит А, то пишут так: А. Если все элементы, уходящие в множество А, входят и в множество В, то говорят, что А есть часть В, и пишут или . Если множества А и В содержат одни и те же элементы, то пишут . Если все элементы, входящие в А, входят и в В, но среди элементов В есть и такие, которые не входят в А, то, чтобы подчеркнуть последнее обстоятельство, иногда говорят, что А есть правильная часть В. Если , то отсюда следует, что . Пусть

множества, число которых конечно или счетно. Суммой множеств (1) называется множество элементами которого являются элементы, принадлежащие по крайней мере одному из множеств . Для обозначения суммы

множеств пользуются обычными символами

Произведением множеств (1) называется множество элементами которого являются элементы, входящие во все множества Произведение множеств обозначается обычным образом

Произведение множеств может не содержать ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством, и мы будем обозначать его символом А. Так, например, если А к В множества, не имеющие общих элементов, то мы имеем формулу Сумма и произведение множеств подчиняются, очевидно, переместительному и сочетательному закону. Имеем например:

Справедлив и распределительный закон, т. е. имеет место формула

Для того чтобы доказать эту формулу, мы должны показать, что всякий элемент входящий в множество, стоящее в левой части формулы, входит и в множество, стоящее в правой части формулы, и наоборот. Если есть элемент множества, стоящего в левой части формулы (3), то он принадлежит одновременно В и сумме множеств т. е. по крайней мере одному из множеств Пусть . Таким образом, , а следовательно, принадлежит множеству, стоящему в правой части формулы (3). Наоборот, если принадлежит этому множеству, то он принадлежит по крайней мере одному из произведений Положим, что Отсюда следует, что и что принадлежит сумме множеств принадлежит множеству, стоящему в левой части формулы (3), и эта формула доказана. Если , то очевидно Отсюда и из (2) и (3) непосредственно следует

Определим теперь разность. Под разностью множеств мы разумеем множество, элементами которого

являются элементы А, не входящие в В. Если , то есть пустое множество. Отметим, что при определении разности мы не предполагаем, что . Если , то имеет место очевидная формула

В общем случае имеем

Отметим некоторые формулы, которые будут нам полезны в дальнейшем. Их доказательства не представляют никакого труда. Если , то Если то

Укажем еще на формулы, связанные с понятием разности:

Перейдем теперь к установлению понятия монотонной последовательности множеств и предела Если для бесконечной последовательности множеств мы имеем

то будем говорить, что эта последовательность множеств есть возрастающая последовательность. Убывающая последовательность множеств определяется условием

В случае (9) назовем пределом множеств такое множество g, элементами которого являются элементы, принадлежащие по крайней мере одному из При этом будем писать Отметим, что если в случае (9) элемент принадлежит множеству то он принадлежит и всем множествам при . В случае (9) мы имеем очевидную формулу

которую можем также написать в виде

В последней формуле множества, входящие в качестве слагаемых в правую часть, не имеют попарно общих точек. В случае (10) назовем пределом множеств множество g, элементами которого являются элементы, принадлежащие всем . В данном случае мы имеем

и, кроме того, в случае (10) можем написать формулу

В этой формуле слагаемые справа не имеют попарно общих элементов. Мы определили понятие предела последовательности множеств лишь для монотонных последовательностей. Можно было бы сделать это и в общем случае. Не будем на этом останавливаться, так как это нам не понадобится в дальнейшем.

Введем еще одно понятие специально для точечных множеств. Пусть g — множество точек на плоскости. Назовем множеством, дополнительным для g, множество всех точек плоскости, не принадлежащих к g. Это дополнительное множество обозначают обычно символом . Отметим некоторые формулы, относящиеся к понятию дополнительного множества. Если дважды применить понятие дополнительного множества, то получим первоначальное множество, т. е. . Если , то . Отметим также следующие формулы:

которые доказываются без всякого труда. Понятие дополнительного множества можно ввести, очевидно, и по отношению к прямой, если основное множество расположено на прямой, и по отношению к любому многомерному пространству. Иногда вводят понятие дополнительного множества по отношению к некоторому множеству А. Если все точки множества g принадлежат А, то множеством дополнительным для g по отношению к А называют разность . Мы будем пользоваться понятием дополнительного множества только по отношению ко всему пространству, т. е. по отношению или к прямой, или к плоскости и т. д.