145. Собственные значения и собственные элементы.

Пользуясь спектральной функцией, можно очень просто определить собственные значения и собственные элементы самосопряженного оператора.

Теорема. Для того чтобы было собственным значением самосопряженного оператора А со спектральной функцией необходимо и достаточно, чтобы имело точку точкой разрыва непрерывности, т. е. . При этом есть проектор в подпространство собственных элементов, соответствующих собственному значению

Пусть есть подпространство, соответствующее проектору Если есть точка непрерывности , то состоит только из нулевого элемента. Доказательство теоремы сводится к доказательству следующих двух утверждений: если , то и обратно, если то . Итак,

положим сначала, что . При этом тем более и, следовательно, . Принимая внимание, что не убывает при возрастании X, мы можем утверждай что при при Применим к элементу формулу (205):

и при составлении сумм будем считать, что есть точка деления. В силу предыдущего все разности обратятся в нуль, кроме одной, соответствующей частичному промежутку с правым концом т. е.

где Переходя к пределу, мы получим

но по условию и, следовательно, правая часть последней формулы равна удовлетворяет уравнению Положим теперь наоборот, что удовлетворяет этому уравнению, и покажем, что Из следует:

или, выражая билинейный функционал через интеграл Стилтьеса:

Интегрируемая функция неотрицательна, и функция, стоящая под знаком дифференциала, есть неубывающая функция X. Отсюда следует, что все элементы интеграла (230) неотрицательны, и величина этого интеграла по любой части промежутка интегрирования также должна равняться нулю. Взяв некоторое положительное число , мы можем написать

Интегрируемая функция на промежутке интегрирования и из формулы (231) тем более следует, что

т. е.

Ввиду произвольности отсюда вытекает, что при Совершенно аналогично можно показать, что при . Отсюда непосредственно вытекает, что и треорема таким образом доказана.

Если оператор А имеет собственные значения, то, вводя в каждом подпространстве собственных элементов, соответствующих фиксированному собственному значению, замкнутую ортонормированную систему, мы придем к ортонормированной системе собственных элементов оператора

и к последовательности соответствующих собственных значений

Если — ранг некоторого собственного значения, то оно фигурирует раз в последовательности (233). Число может равняться и бесконечности.

Обозначая через точки разрыва и через соответствующие подпространства собственных элементов, мы можем написать

Составим ортогональную сумму подпространств

Оператор проектирования в подпространство выражается, как мы знаем, формулой

Подпространство Н есть подпространство, состоящее из элементов которые могут быть выражены через элементы ортогональной и нормированной системы (232) при помощи сходящегося ряда