161. Спектральная функция. Теорема.

Всякому самосопряженному оператору А соответствует проектор со следующими свойствами:

1) если оператор D коммутирует с А, то он коммутирует и с если то самосопряженные операторы удовлетворяют условиям

Принимаем за проектор Р, входящий в лемму 1. Если D коммутирует с а, то он коммутирует и с а потому и с , и первые два утверждения теоремы вытекают из леммы 1. Далее из формулы итого, что коммутирует с А и В и следует, что

Но произведение положительного оператора В на проекторы с которыми он коммутирует, суть положительные операторы, и из последних формул непосредственно следуют неравенства (330), и теорема доказана.

Пусть X — любое вещественное число. Мы можем построить для самосопряженного оператора проектор, о котором говорится в доказанной теореме. Обозначим его через Он обладает следующими свойствами: 1) если некоторый оператор D коммутируй с или, что то же, с А, то он коммутирует с если , то имеют место неравенства

Отметим еще, что при любом X коммутирует с , т. е. с А. Покажем, что представляет собой разложение единицы. Всякое коммутирует с А, а потому, в силу сказанного выше, и с любым Пусть Покажем при этом, что Если бы это было не так, то мы имели бы такой элемент с нормой единица, что и, следовательно,

ибо , а это противоречит первому из неравенств (331). Итак, при . Совершенно так же, пользуясь вторым из неравенств (331), мы докажем, что при Остается доказать, что при т. е. что при или, что то же, надо доказать формулу

Обозначим левую часть написанного равенства через

Нам надо доказать, что для любого элемента мы имеем Обозначим Из формулы (333) непосредственно следует

В силу (331) имеем

С другой стороны, в силу (334),

и первое из неравенств (335) переписывается в виде и, совершенно аналогично, второе переписывается в виде Вычитая последнее неравенство из предыдущего, получим откуда, в силу и следует, что и формула (332) доказана. Непрерывность справа докажем позже.

Для доказательства интегрального представления оператора А через выведем одно неравенство. Введем проектор

мы можем написать для любого элемента

Принимая во внимание очевидные равенства

можем переписать эти неравенства так:

или

Взяв любое число v, удовлетворяющее условию , получим отсюда

или, принимая во внимание, что имеем

Отсюда видно что норма оператора не превышает , т.е.

Заменяя в этом неравенстве на и принимая во внимание, что , получим основное для дальнейшего неравенство

В этом неравенстве определяются формулой (336). Переходим к доказательству формулы (204). Берем некоторое положительное число и разбиваем промежуток на части:

затем вводим проекторы причем

Имеем разложение любого элемента на попарно ортогональные слагаемые

Нетрудно видеть, что

Например, первое из этих равенств доказывается так:

а последнее выражение равно нулю в силу (338). Составим теперь выражение

где — любое значение из промежутка . Слагаемые суммы, стоящей справа, попарно ортогональны, и пользуясь теоремой Пифагора, можем написать

Пусть — наибольшая из разностей Пользуясь неравенством (337), получим из (339):

или, в силу теоремы Пифагора,

и отсюда следует, что при мы имеем для любого элемента

Таким образом, получаем основную формулу

Остается доказать, что непрерывна справа. При стремлении к X проектор А, определяемый формулой (336), не увеличивается и стремится к некоторому пределу и нам надо показать, что есть оператор аннулирования. Переходя в (337) к пределу, получим Отсюда, в силу второго свойства следует, что . С другой стороны, и, переходя к пределу, получим Принимая во внимание получим действительно аннулирует любой элемент . Отметим еще, что любой оператор D, коммутирующий с А, коммутирует и с