215. Матрицы Якоби.

Применим предыдущие результаты к случаю матриц Якоби:

причём вещественны и . Условие (179), очевидно, выполняется. Нумерация ортов начинается с

Строим вещественные полиномы по формулам [ср. 167]

из которых следует:

где через мы обозначили орты.

Теорема 1. Если сходится ряд

то оператор А — несамосопряжённый.

В силу сходимости (185) можно образовать элемент из с составляющими так что Принимая во внимание, что и формулу (183), получим:

откуда, в силу можем написать: . В силу дистрибутивности А и скалярного произведения, имеем

для любого «конечного элемента» у и, в силу теоремы из [214], это равенство справедливо для любого у из а потому откуда и вытекает, что А — несамосопряжённый оператор.

Теорема 2. Если ряд (185) расходится, то оператор А — самосопряжённый.

Достаточно доказать, что А не имеет собственных значений ± i. Предполагаем обратное. Пусть где элемент отличен от нулевого. В силу определения А и того факта, что имеем или Раскрывая скалярное произведение, получим: Пользуясь (183) и методом полной индукции, получаем отсюда: Но это противоречит расходимости (185). Если заменить в (185) i на то, в силу получится, очевидно, также расходящийся ряд, и, как и выше, А не имеет собственного значения теорема доказана. Таким образом расходимость ряда (185) является необходимым и достаточным условием самосопряженности А. Повторяя дословно доказательство двух последних теорем, можно показать, что если ряд

сходится при каком-либо невещественном а, то а и а суть собственные значения А, и если ряд (186) расходится при некотором невещественном а, то а и а не являются собственными значениями А, откуда следует, что А — самосопряжённый оператор, т. е. и ряд (185) расходится. Наоборот, если (186) сходится при некотором невещественном а, то А имеет невещественные собственные значения и А — чесамосопряжённый оператор; ряд (185) также сходится. Эти рассуждения приводят к следующей теореме:

Теорема 3. Возможны лишь следующие два случая: ряд (186) расходится при любом невещественном а или сходится при любом невещественном а. В первом случае А — самосопряжённый оператор, а во втором — несамосопряжённый.

Далее из доказательства теоремы 2 непосредственно следует, что если (185) сходится, то составляющие собственного элемента А, соответствующего собственному значению i, удовлетворяют равенствам где произвольно и отлично от нуля, т. е. подпространство одномерно. Совершенно так же и одномерно. Оно получается, очевидно, из заменой элементов на сопряжённые. Таким образом во втором случае индексы дефекта А суть (1,1). Элементы подпространств мы можем определить с точностью до произвольного

комплексного множителя формулами

и элементы подпространства самосопряжённого расширения оператора А определяются единственным образом формулой , а — любое комплексное число, Пусть - спектральная функция А в первом случае или какого-либо во втором случае и . Совершенно так же, как и в [167], мы имеем:

причём во втором случае А надо заменить на Элементы матрицы (182) выражаются, очевидно, формулами

Теорема 4. Полиномы образуют замкнутую систему относительно .

Пусть функция, равная единице при нулю при Любая функция принимающая конечное число значений причём всякое значение она принимает на конечном промежутке, может быть представлена, очевидно, в виде конечной линейной комбинации функций при различных Если мы при любом докажем уравнение замкнутости для , то оно, в силу обобщённого уравнения замкнутости, будем иметь место для любой линейной комбинации функций и, тем самым, для всех функций указанного типа. Но линеал таких функций повсюду плотен в относительно потому образуют замкнутую систему [60]. Итак, достаточно доказать уравнение замкнутости для . Вычислим интеграл от и коэффициенты Фурье этой функции:

Надо проверить при любом равенство:

Мы имеем, в силу уравнения замкнутости,

и достаточно проверить равенство

правая часть которого вещественна. Но это последнее равенство непосредственно вытекает из указанного выше интегрального представления и теорема доказана.

Укажем ещё один простой достаточный критерий самосопряжённости матрицы (182). Из (183) непосредственно следует формула

и, суммируя по k от до получим тождество:

и, в частности, при

В силу левая часть 1, откуда следует:

и, суммируя от до , получим:

откуда непосредственно следует, в силу теоремы 2:

Теорема 5. Вели ряд, составленный из расходится, то А — самосопряжённый оператор.

Укажем ещё без доказательства на два факта, непосредственно связанные с предыдущим изложением. Можно показать, что если А имеет индексы дефекта (1,1), то ряд (186) сходится при любом значении а. Если же А — самосопряжённый оператор, то (186) расходится и при вещественном а, кроме тех, которые соответствуют точечному спектру А, если таковой имеется. Кроме того, при индексах дефекта (1,1), всякое самосопряжённое расширение А имеет чисто точечный спектр (см. Н. И. Ахиезер. Бесконечные матрицы Якоби и проблема моментов, Успехи матем. наук, т. IX, 1941).

В качестве примера матрицы Якоби рассмотрим иолиномы Эрмита. Мы определяли полиномы Эрмита равенством

и имели соотношение

и интегральное равенство

Для того чтобы получить в дальнейшем нормированные полиномы, вместо (187) введём полиномы

после чего соотношение (138) перепишется в виде

причём . Таким образом, если мы возьмём матрицу Якоби, полагая

то мы и придём к полиномам (190), причём будут иметь место формулы

Из теоремы 5 следует, что в рассматриваемом случае А есть самосопряжённый оператор. Принимая во внимание написанные выше интегральные формулы, можно показать, что для оператора А:

Оператор А имеет простой непрерывный спектр, расположенный на всём промежутке