22. Переход к функции точки.

Можно построить функцию промежутка пользуясь функцией точки Положим, что имеется функция точки которая определена, если принадлежит к промежутку оси X, и у — промежутку оси Y, причем определяют основной промежуток на плоскости. Предположим далее, что функция не убывает каждой переменной при любом фиксированном значении другой переменной и, кроме того,

при любых х и у и любых положительных h и k. Из сказанного следует, что существуют пределы причем

В силу монотонности, выражаемой этими формулами, мы можем переходить к пределу последовательно по одной и другой переменной. Составим пределы

и докажем, что они равны. Мы имеем и, переходя к пределу сначала по а потом по k, получим АВ. Совершенно так же можно доказать, что ВА, и, следовательно, Величину естественно обозначить символом Совершенно так же можно показать, что

и этот предел естественно обозначить символом . До сих пор мы пользовались лишь тем, что функция не убывает по каждой переменной. Сейчас нам придется использовать и условие (115). Составим пределы

и докажем, что Полагая можем написать, в силу (115),

Устремляя к нулю сначала и затем получим

Устремляя теперь к нулю сначала h и затем k, будем иметь т. е. . Совершенно так же можно доказать, что и, следовательно, . Величину естественно обозначить через . Совершенно так же

и этот повторный предел обозначим Нетрудно показать, что во всех рассмотренных четырех случаях тот же предел получится и при любом одновременном стремлении h и k к Например, можно утверждать следующее: при любом заданном положительном s существует такое положительное что

Таким образом, при выполнении условия (115) имеют определенный смысл символы При помощи неотрицательная, аддитивная и нормальная функция строится следующим образом. Положим, что А и А суть промежутки на осях, определяющие промежуток А на плоскости, и пусть а и b — граничные точки промежутка А, а с и d — граничные точки

промежутка . При этом равно следующему выражению:

где знак берется в том случае, когда промежуток закрыт на соответствующем правом конце или открыт на соответствующем левом конце, и знак когда промежуток открыт на соответствующем правом конце, или закрыт на соответствующем левом конце. Таким образом, например, в случае замкнутого промежутка мы имеем

В случае полуоткрытого промежутка

и в случае точки :

Наоборот, если имеется функция G (А), то легко построить функцию точки при помощи которой может быть получена указанным выше образом. Положим, например, что G (А) определена на всей открытой плоскости. При этом можно считать равной значению G (А) для промежутка А, который определяется следующими промежутками на осях: . Построенная таким образом будёт непрерывной по и у справа. Отметим, что левая часть (115) не изменится, если к добавить произвольный полином первой степени относительно х и у. Отметим, что если непрерывная функция, то соответствующая ей не имеет ни точек, ни линий разрыва и наоборот. Если в точке функция имеет разрыв непрерывности, но

то эта точка не есть точка разрыва для

Рассмотрим в качестве примера то распределение массы, о котором мы упоминали выше, а именно положим, что масса распределена с линейной плотностью, равной един и на отрезке: При этом если если если

Совершенно аналогично можно рассмотреть промежутки в трехмерном пространстве с осями X, Y и Z. Такой промежуток

определяетси тремя промежутками на осях. Кроме точек и прямых, параллельных осям, надо будет рассматривать также и плоскости, параллельные координатным плоскостям. В остальном все рассуждения и результаты будут такими же, что и выше.