207. Примеры на теорию расширений.

1. Мы доказали раньше, что оператор в пространстве не имеет самосопряженных расширений [188]. Мы будем придерживаться здесь обозначений из [188] и

докажем упомянутый результат, пользуясь индексами дефекта. Напомним, что замкнутый симметричный оператор А есть оператор D, определенный на множестве функций абсолютно непрерывных на любом конечном промежутке с производной из и удовлетворяющих условию Оператор А есть оператор D на множестве функций удовлетворяющих указанным выше условиям, кроме условия

Построим пространства собственных элементов оператора А, соответствующих собственным значениям т. е. подпространства решений уравнений или Мы получаем Но не принадлежит и мы видим, что индексы дефекта оператора А суть (0,1). Оператор А является максимальным оператором, есть все состоит из функций, принадлежащих и ортогональных на промежутке

Если ввести ортонормированную систему функций Аагерра: где полином степени то нетрудно показать, что где U — изометрический оператор, переводящий т. е. А есть элементарный симметричный оператор.

2. Рассмотрим оператор в пространстве Через А обозначим этот оператор на линеале D(А) финитных функций, имеющих непрерывные производные до второго порядка. симметричный оператор. Сопряженный А есть, как нетрудно показать, тот же оператор на линеале функций со следующими свойствами: абсолютно непрерывные на любом конечном промежутке, а Можно показать, что при этом и Оператор совпадает с т. е. А есть самосопряженный оператор Уравнения не имеют решений из со). Рассмотрим теперь тот же оператор на промежутке Пусть Г — линеал функций со следующими свойствами: абсолютно непрерывны на любом конечном промежутке , а Определим еще линеал тех элементов из которые удовлетворяют условиям

при всяком

Если А есть оператор на то А есть тот же оператор на причем А — замкнутый симметричный оператор. Уравнения имеют по одному (с точностью до постоянного множителя) решению из

так что индексы дефекта А суть (1,1). Для получения самосопряженного расширения надо поставить одно предельное условие на конце . В случае условия оператор не имеет точечного спектра, и непрерывный спектр заполняет промежуток . Имеется единственное дифференциальное решение

Строя резольвенту, т. е. решение уравнения при условии и переходя к пределу, получим спектральную функцию

Все эти результаты получаются при помощи простых вычислений. Нетрудно показать, что если то Теория линейных дифференциальных операторов второго порядка будет изложена в шестом томе.

3. В [188] мы рассмотрели оператор Аапласа в пространстве Для указанного там оператора А выполнены все условия теоремы 3 из [187], и мы рассмотрим самосопряженное расширение А по Фридрихсу. Пространство На получается пополнением в метрике:

Но эта норма эквивалентна норме и, следовательно, есть Напомним, что получается пополнением в норме множества всех один раз непрерывно дифференцируемых финитных функций. Но нетрудно видеть (процесс усреднения), что в качестве исходного множества можно было бы брать бесконечное число раз непрерывно дифференцируемые финитные функции. Функционал на имеет вид

где , или

В этом виде он имеет смысл для любой функции и и вариационная задача из [205] состоит в нахождении той функции и которая дает наименьшее значение функционалу (157). Мы видели, что эта задача имеет единственное решение при любом Присоединяя все эти решения, полученные при различном выборе к D (А), мы придем к самосопряженному расширению А оператора А, причем

Поскольку А — самосопряженное расширение А, мы имеем Но функции из имеют внутри D обобщенные производные до второго порядка включительно, квадратично суммируемые по любой области D, лежащей строго внутри D, и оператор А на них вычисляется как оператор Аапласа [188]. Поэтому и А есть оператор Аапласа, т. е. уравнение (158) имеет вид

Итак, мы показали, что решение указанной выше вариационной задачи принадлежит не только но и где любая область, лежащая строго внутри D, и что оно удовлетворяет уравнению Пуассона.

С другой стороны, уравнение (159) имеет бесчисленное множество решений из . Достаточно к упомянутому выше решению добавить гармоническую функцию из Условие принадлежности решения выделяет из этого класса решений одно, которое мы и получили из вариационной задачи. Это решение должно обращаться в определенном смысле в нуль на границе

S области D [113]. Отсюда ясна связь построенного расширения А с задачей Дирихле для уравнения Пуассона:

Все, что доказано выше для оператора Лапласа, справедливо и для общих линейных эллиптических самосопряженных операторов второго порядка [IV; 147]. Из теории расширения но Фридрихсу следует для них разрешимость задачи

Дирихле в обобщенном смысле — в смысле принадлежности решения к Оказывается, что в действительности это обобщенное решение задачи Дирихле, соответствующее расширению эллиптического оператора по Фридрихсу, принадлежит или даже если только S — достаточно гладкая поверхность. Это установлено в работе О. А. Ладыженской замыкании эллиптического оператора (Докл. АН СССР, т. 79, №5, 1951). Этому же вопросу посвящена работа О. А. Ладыженской „Простое доказательство разрешимости краевых задач и задачи о собственных значениях для линейных эллиптических операторов („Вестник Ленинградского университета", №11, 1955).