141. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса.

Дальнейшее развитие теории самосопряженных операторов основано на общей формуле, дающей представление любого самосопряженного оператора. Для построения этой формулы надо предварительно ввести одно новое важное понятие.

Определение. Назовем разложением единицы семейство проекторов зависящее от вещественного параметра X и удовлетворяющее следующим условиям: 1) проектор не убывает при возрастании X, т. е. если то существуют такие конечные значения что проектор непрерывен справа по отношению к параметру X, т. е.

Отметим, что, в силу теоремы 7 [140], при любом значении X существует предел при стремлении X к X как слева, так и справа,

Эти пределы суть проекторы, которые естественно обозначить символами . В силу (177) мы должны иметь . Будем говорить, что непрерывен в точке X, если Условие (177) требует для проектора в каждой точке непрерывности справа. Это условие добавлено лишь для того, чтобы фиксировать значение в каждой его точке разрыва по отношению к X.

Отметим некоторые свойства разложения единицы Пусть — точная верхняя граница тех значений X, для которых т. е.

В самой точке проектор будет отличным от нулевого оператора, если в этой точке имеет скачок. Через М обозначим точную нижнюю границу тех значений X, для которых . В силу непрерывности справа мы должны иметь и, таким образом, значение М определяется следующими условиями:

Если любое фиксированное положительное число, то мы можем сказать, что при изменении X в промежутке проектор меняется от 0 до Е. Далее, в силу теоремы 5, можно утверждать, что при разность есть проектор, и имеет место формула

Устремляя в разности число X к слева, увидим, что есгь проектор. Точно так же можно показать, что при есть проектор. Введем новое обозначение, которым в дальнейшем будем часто пользоваться. Пусть А — некоторый промежуток . Обозначим

Если — два промежутка, не имеющие общих внутренних точек, то, в силу (180), мы имеем

Пользуясь теоремой 2 [140], мы можем утверждать, что последнее равенство равносильно следующему: при любом выборе элементов и у мы имеем

Если общая часть промежутков А и то, в силу (180), мы имеем

Мы умеем складывать операторы и совершать переход к пределу для последовательности операторов. Это даст нам сейчас возможность построить, пользуясь разложением единицы , «интеграл Стилтьеса» для любой непрерывной функции. Пусть на промежутке , где фиксированное положительное число, задана непрерывная функция которая может быть и комплексной. Делим указанный промежуток на части:

и для этого подразделения - промежутка составляем соответствующую ему «сумму Римана — Стилтьеса»:

где — какое-либо значение из промежутка Сумма есть некоторый линейный оператор. Обозначим через наибольшую из разностей Имеет место следующая основная теорема: Теорема. Для любой последовательности подразделений при условии последовательность операторов в смысле сильной сходимости операторов, имеет определенный предел. Предварительно докажем две леммы.

Лемма 1. Если a и числа и причем элементы попарно ортогональны, то имеет место неравенство

где — наибольшее из чисел .

Можем написать

откуда, в силу теоремы Пифагора, следует

Теорема Пифагора дает также

неравенство (188) непосредственно приводит к (187), и лемма доказана.

Лемма 2. Если — разбиение (185) промежутка и — какое-либо другое разбиение

того же промежутка, то для любого элемента имеет место неравенство

где — наибольшее колебание функции в промежутках , т. е. есть такое число, что

если принадлежат одному и тому же промежутку или одному и тому же промежутку .

Составим произведение подразделений . При переходе от подразделения к подразделению каждый частичный промежуток подразделения разобьется на конечное число промежутков При этом каждое слагаемое суммы

заменится суммой

где — некоторое значение из промежутка . Тем самым значения принадлежат одному и тому же промежутку подразделения , и мы имеем, в силу (190),

Составим разность

В силу (183) элементы . Для различных значений k взаимно ортогональны, и, пользуясь теоремой Пифагора, мы можем написать

Кроме того, имеем и элементы также попарно ортогональны. Пользуясь леммой 1 и принимая во внимание неравенство (192), получаем оценку

и, следовательно, в силу (193),

Принимая во внимание, что можем написать

причем элементы, стоящие справа, попарно ортогональны. Теорема Пифагора дает

и неравенство (194) можно переписать в виде

Совершенно так же можно показать, что

и утверждение леммы непосредственно вытекает из неравенства

Переходим теперь к доказательству теоремы. Нам надо показать, что при любом выборе элемента х последовательность элементов имеет предел, т. е. . Если мы это докажем, то нетрудно видеть, что предельный элемент у не зависит от выбора последовательности . Действительно, если две последовательности подразделений, удовлетворяющие указанному в теореме условию, причем если и оьпх то последовательность подразделений также удовлетворяет условию теоремы, а потому последовательность элементов

должна иметь предел. Отсюда и вытекает непосредственно, что .

Предварительно установим одно неравенство.

Элементы входящие в сумму попарно ортогональны, и и по теореме Пифагора

Далее, непрерывная функция ограничена по модулю, т. е. , где — некоторое положительное число. Формула (197) приводит нас к неравенству

из которого, в силу (196), следует, что , т. е. при любом разбиении норма оператора не превышает . Докажем теперь, что последовательность элементов имеет предел при любом выборе . В силу условия теоремы о равномерной непрерынности на промежутке для любого заданного положительного существует такое N, что

если принадлежат одному и тому же частичному промежутку подразделения при Применяя лемму 2, мы можем утверждать, что имеет место неравенство

т. е. последовательность сходится в себе, а потому стремится к некоторому предельному элементу, и теорема доказана полностью. Для обозначения предела последовательности операторов при беспредельном измельчании частичных промежутков (в смысле сильной сходимости операторов) естественно воспользоваться обычным обозначением интеграла Стилтьеса:

Для обозначения предельного элемента последовательности элементов (191) при беспредельном измельчании частичных промежутков используем следующее обозначение:

Совершенно аналогично можно доказать существование соответствующих интегралов

по любой части промежутка . Отметим, что вне промежутка оператор и элемент сохраняют постоянные значения, и, в связи с этим, часто интеграл по конечному промежутку записывают в виде интеграла по бесконечному промежутку

Выделяя скачок оператора в точке если этот скачок существует, можем привести написанные интегралы к интегралам по промежутку

Отметим элементарную оценку интеграла, аналогичную , а именно, если на промежутке мы имеем то

В дальнейшем мы будем вместо нижнего предела писать просто т. Написанный таким образом интеграл по промежутку будет равносилен интегралу по указанному промежутку, сложенному с выражением или