17. Функции промежутков.

При дальнейших обобщениях понятия интеграла нам будет удобнее пользоваться вместо функций точки функциями промежутков. Пусть на бесконечной оси дана неубывающая ограниченная функция Сопоставим любому полуоткрытому слева промежутку неотрицательное число: (масса, содержащаяся на этом промежутке). Таким образом, мы получим функцию полуоткрытых промежутков, которую обозначим через

Для формулировки свойств этой функции введем одно новое понятие. Будем говорить, что последовательность полуоткрытых промежутков есть исчезающая последовательность, если каждый промежуток принадлежит предыдущему и ни одна точка не является общей точкой всех промежутков. Выясним структуру исчезающей последовательности промежутков. Пусть есть По условию, при беспредельном возрастании k. Монотонные последовательности имеют общий предел с, причем для любого k мы имеем Поскольку ни одна точка, и в частности точка с, не является общей точкой всех промежутков то для всех достаточно больших значений k точка с должна попасть на левый открытый конец промежутка, т. е. есть для всех достаточно больших k и При этом

ибо Из определения (93) и только что приведенных рассуждений непосредственно вытекают следующие три основные свойства :

1) О(А) неотрицательна; 2) она аддитивна, т. е. если полуоткрытый промежуток А разбить на конечное число полуоткрытых

промежутков , попарно без общих точек, что выражают обычно равенством

то

3) функция стремится к нулю на исчезающей последовательности промежутков.

Это последнее свойство мы будем называть нормальностью функции Оно имеет очевидный физический смысл. Будем рассматривать не только полуоткрытые слева, но любые промежутки: , и отдельную точку а будем рассматривать так же, как промежуток . Исходя из неубывающей ограниченной функции точки мы можем построить функцию любых промежутков, причем эта функция будет обладать указанными выше тремя свойствами. Для этого достаточно, кроме определения (93), ввести еще следующие определения:

или, если промежуток, состоящий из одной точки, то

Если неубывающая функция определена только на конечном промежутке, например на промежутке то можно распространить ее на всю ось, полагая при при

Мы пришли к понятию функции промежутка исходя из неубывающей функции точки Можно, наоборот, имея функцию промежутка с упомянутыми выше тремя свойствами, построить функцию точки которая приведет по указанной выше схеме к Достаточно для этого положить

Построенная таким образом функция будет, очевидно, непрерывной справа. Если определена только для промежутков, принадлежащих некоторому промежутку то ее можно определить и для всех промежутков, полагая , где произведением промежутков мы называем промежуток, составленный из точек, одновременно принадлежащих А и . Если таких точек нет, т. е. есть пустое множество, то естественно полагаем

. Отметим, что если добавить к любую постоянную, то это не повлияет на значения . Если есть функция ограниченной вариации, то воспользуемся её каноническим представлением в виде разности неубывающих функций: Функции приведут нас к функциям промежутков с указанными тремя свойствами, а функция даст нам функцию промежутков . Эта функция может быть непосредственно построена по функции согласно формулам (93), (96) и (97). Она обладает свойством аддитивности и нормальностью, но может быть отрицательной.

Если бы мы имели замкнутый промежуток то вместо (98) должны были бы положить