78. Вспомогательные предложения.

В ближайших двух параграфах мы введем новые понятия и докажем вспомогательные предложения, которые нам необходимы для доказательства основной теоремы из [73] и для дальнейшего обобщения понятия интеграла.

Будем рассматривать функции вполне аддитивные на семействе С, состоящем из некоторого множества из и всех множеств g из составляющих часть причем считаем конечным и отличным от нуля. Обозначим через множество всех таких функций. Если то также . Как мы знаем, для всякой из суммы

остаются ограниченными при любом разбиении на конечное число множеств [72]. Точную верхнюю границу сумм т. е. полную вариацию на обозначим через . Имеем, очевидно, где с — постоянная. Если подразделение есть продолжение подразделения , то пишем . Принимая во внимание, что для любого разбиения мы имеем можем утверждать, что если . Если такая последовательность подразделений, что , то тем более Если полагая , получим

Если частичные множества в из неравенства

путем суммировании и предельного перехода получаем

Наряду с суммой (58) рассмотрим для функций , удовлетворяющих условию

сумму

Если то соответствующее слагаемое имеет вид и мы его считаем равным нулю. Мы могли бы не делать такой оговорки, если бы согласились рассматривать только такие b, для которых все что сводится к присоединению тех для которых к другим частичным множествам. Множество значений не обязательно ограничено. Обозначим через множество тех функций , которые удовлетворяют условию (60) и для которых множество ограничено. Множество составляет часть . Нетрудно видеть, что если , то Точную верхнюю границу сумм обозначим через Покажем, что если , то Для этого достаточно показать, что если есть некоторое разбиение , то

Это неравенство равносильно следующему:

которое может быть переписано, в силу в виде

Как и выше, если

Установим теперь для функций из неравенство, связывающее Применяя неравенство Коши получаем

т. е. Совершенно так же, как и при выводе (59), можно построить такую последовательность подразделений и неравенство

в пределе дает

Отметим еще одно семейство функций . Функцию назовем существенно ограниченной, если существует такая постоянная С, что для любого g из принадлежащего имеем

и множество всех существенно ограниченных функций (при разных значениях С) обозначим через . Из (61) непосредственно следует, что, если при любом b, т. е. составляет часть .

Раньше мы рассматривали кусочно-постоянные функции точки [46]. Введем теперь кусочно-постоянные функции множеств. Функция удовлетворяющая условию (60), называется кусочно-постоянной в если существует такое разбиение на конечное число множеств что

Если отношение обозначим через (считаем , если ), то указанная кусочно-постоянная функция может быть, очевидно, представлена интегралом

где — характеристическая функция множества Под знаком интеграла стоит кусочно-постоянная функция точки, равная на множестве g. Наоборот, всякий интеграл указанного вида дает кусочно-постоянную функцию множеств

При любом заданном подразделении b множества на конечное число множеств сопоставим любой вполне аддитивной на функции множеств удовлетворяющей условию (60), и любой функции точки измеримой и суммируемой на кусочно-постоянные функции Именно определим для g, принадлежащего формулой

т. е. для любого g из формулой

Функцию положим ранной постоянной

если . Если , то и выражение (69) считаем равным нулю. Если представлено интегралом:

то, очевидно,

Из определения непосредственно следует:

Покажем, что если , то

При имеем подразделения каждого на некоторые множества причем, в силу (67),

откуда следует

Если с — наибольшее из то, в силу , т. е. всякая кусочно-постоянная функция множеств существенно ограничена. Отметим, что мы рассматричаем кусочнопостоянные функции лишь при разбиении на конечное число множеств.

Пусть и указанные выше частичные множества. Из определения следует, что

а потому

т. е.

Если то при и подавно и, в силу и не зависит от , откуда следует

Если то существует такая последовательность подразделений что и, следовательно, существует такая последовательность подразделений, что

Величину (75) нетрудно выразить интегралом. Пусть подынтегральная функция в интеграле (66) для кусочно-постоянной функции

Мы имеем

и, следовательно,

т. е.

и, применяя обычное обозначение нормы в ,

Выведем еще две формулы, необходимые нам в дальнейшем. В силу (73) имеем при сохраняющая постоянные значения в точках

частичных множеств подразделения , есть подинтегральная функция в формуле (66) для , т. е.

и, в силу (78), можем написать

Последняя формула будет касаться функции . Она сохраняет постоянное значение в точках и, согласно определению функция принимает в точках постоянное значение

т. е.