205. Расширение симметричных полуограниченных операторов.

Пусть А — симметричный полуограниченный оператор с нижней границей

Будем пока считать, что т. е. что А — определенно положительный оператор. Мы постараемся расширить его так, чтобы он оставался симметричным и чтобы его область значений совпала со всем Н. Такое расширение приведет, как известно [187], к самосопряженному оператору.

Сопоставим оператору А квадратичный функционал с вещественными значениями

где у — любой фиксированный элемент , и рассмотрим задачу о его минимуме.

Теорема Если уравнение

имеет решение то , где z — любой элемент из и знак имеет место только при Обратно, если для некоторого имеет место неравенство где z — любой элемент из то удовлетворяет уравнению (140).

Пусть и удовлетворяет уравнению (140). При любом в силу симметричности А, имеем

и из неравенств

следует первая часть теоремы.

Обратно, если для всех то квадратичная функция вещественного параметра t имеет при минимум для любого фиксированного Отсюда следует

или

т. е. , где — знак вещественной части. Заменяя на получим и, поскольку плотно в Н, получаем что доказывает вторую часть теоремы.

Из доказанной теоремы не следует, что при любом функционал достигает при каком-то наименьшего значения. В связи с этим мы в дальнейшем расширим область определения нашего функционала. Согласно (139) он определен на

Введем в новое скалярное произведение, полагая

и тем самым новую норму

В силу (138) мы имеем неравенство

Нетрудно проверить, что элементы линеала при прежнем определении умножения на число и сложения и при скалярном произведении (141) удовлетворяют всем аксиомам пространства Гильберта, кроме, может быть, аксиомы полноты. Если эта аксиома не выполнена, то мы можем пополнить новыми идеальными элементами так, чтобы получилось полное гильбертово пространство, которое мы обозначим через . Исследуем это пополнение [85]. Пусть имеется фундаментальная последовательность из при скалярном произведении (141). В силу (143) она будет фундаментальной последовательностью и в , и будет иметь в некоторый предел в силу полноты . Фундаментальные последовательности из при скалярном произведении (141), принадлежащие одному и тому же классу, приводят к одному и тому же элементу из , т. е. если при то и Это следует из (143). Проверим еще тот факт, что фундаментальным последовательностям из при скалярном произведении (141), принадлежащим разным классам, соответствуют различные элементы из .

Для любого мы имеем

Переходя к пределу, получим

где справа v есть элемент , отличный от нулевого, поскольку последовательности принадлежат разным классам в . Если бы оказалось, что то мы имели бы а это невозможно, ибо D(А) плотно в , и элемент отличен от нулевого.

Расширим определение функционала на все , полагая

и будем исследовать для него прежнюю задачу на минимум. Величина при любом фиксированном является линейным ограниченным функционалом над в , ибо

и по известной теореме существует единственный элемент такой, что

и тем самым Выражение (144) можно записать в виде

откуда следует, что для всех причем знак имеет место лишь при Кроме того, из (145) и того, что На плотно в следует, что различным отвечают различные

Из этой же формулы (145) непосредственно следует, что множество всех решений вариационных задач, отвечающих всевозможным у из Н, есть линеал l. Сказанное выше дает нам возможность определить на l дистрибутивный оператор А формулой

причем этот оператор имеет обратный, определенный на всем Н. В силу теоремы является расширением А. Вместо l естественно писать Отметим, что Докажем, что А есть симметричный в Н оператор. Действительно, из (145) следует

и, полагая будем иметь

вещественно при откуда и следует симметричность оператора А [187]. Обратный определен во всем Н и также симметричен и тем самым есть ограниченный самосопряженный оператор, а потому и А — самосопряженный в Н оператор. Мы доказали таким образом следующее:

Теорема 2. Симметричный оператор А, удовлетворяющий условию (138) при допускает самосопряженное расширение А такое, что определен во всем Н и ограничен.

Приведенная выше конструкция расширения полуограниченного симметричного оператора принадлежит Фридрихсу (Math. Ann., 109, 4/5, 1934). Доказательство взято из книги С. Г. Михлина «Проблема минимума квадратичного функционала» (1952).

Положим теперь, что симметричный оператор А удовлетворяет условию (138) при При этом симметричный оператор , у которого удовлетворяет условию при и доказанная выше теорема приведет нас к следующему:

Теорема 3. Всякий симметричный полу ограниченный оператор А допускает самосопряженное расширение А, такое что при любом оператор определен на всем Н и ограничен.

Оператор А, если он не самосопряженный, допускает бесчисленное множество самосопряженных расширений. Полученное расширение А называется обычно расширением по Фридрихсу.

Если то мы имели при неравенство (143). Положим, что , но не принадлежит D(А). При этом, по определению имеется последовательность такая, что в норме На и тем более в норме .

Написав неравенство для и пользуясь непрерывностью норм, мы можем утверждать, что при неравенство (143) верно для всего На

Если и тем самым , то из (145) следует, что и неравенство (143) дает

При доказательстве мы предполагали Если то строим оператор , где силу сказанного выше имеем где откуда следует (148). Таким образом, мы имеем следующий результат. Теорема 4. Для А имеет место неравенство (148).

Рассмотрим теперь случай и докажем следующее: Теорема 5. Для положительно определенного симметричного оператора А имеем и

Докажем сначала, что Пусть . Имеется последовательность такая, что и для имеет место равенство

где спектральная функция А.

Принимая во внимание, что

и замкнутость можем утверждать, что

(непрерывность норм), т. е. для верно равенство (149). Для пол ного доказательства теоремы остается показать, что . Пусть и докажем, что .

Рассмотрим последовательность элементов . Ясно, что при

В силу сходимости интеграла

элементы

сходятся к в Н при и потому

при . Это означает, что образует фундаментальную в На последовательность. Пусть соответствующий ей элемент Тем самым в На. Но, как мы видели выше, в Н, а потому На у что и требовалось доказать.

При оператор определен на всем Н и ограничен. Исследуем теперь те случаи, когда он вполне непрерывен. Введем оператор W, который сопоставляет каждому элементу На тот же элемент как элемент Н.

Теорема 6. Для того, чтобы был вполне непрерывным оператором, необходимо и достаточно, чтобы оператор W вложения в Н был вполне непрерывен.

Доказываем необходимость. Пусть вполне непрерывный оператор. Его спектр чисто точечный, и он находится на промежутке , причем собственные значения, кроме, может быть, нуля, имеют конечный ранг, и только точка является точкой сгущения спектра [136]. У самосопряженного положительного оператора спектр имеет тот же характер: каждое собственное значение X заменяется на и собственные элементы остаются прежними.

Таким образом, также вполне непрерывный положительный оператор. Возьмем какое-нибудь ограниченное в На множество U так, что если то где С — определенная постоянная. Мы можем применить к оператор Пусть так, что . Мы имеем т. е. множество элементов ограничено в и вполне непрерывный

оператор преобразует их в компактное множество в Н, т. е. действительно ограниченное в норме На множество из На компактно в , т. е. оператор W вполне непрерывен.

Доказываем достаточность. Пусть W — вполне непрерывный оператор и U — ограниченное в Н множество элементов: если то Надо доказать, что компактное в Н множество. Элементы у принадлежат, очевидно, и мы имеем откуда

т. е. множество ограничено в норме На и тем самым, в силу того, что - вполне непрерывный оператор, компактно в Н. Теорема доказана.