113. Свойства функций класса ...

Систематическое изучение свойств функций пространств будет нами предпринято в ряде следующих параграфов, посвященных так называемым теоремам вложения. Результаты настоящего параграфа являются

частными случаями этих общих теорем. Однако, ввиду важности упомянутых результатов, мы даем им здесь независимые, значительно более простые доказательства.

Отметим прежде всего одно свойство пространства непосредственно вытекающее из его определения. Пусть имеется замена переменных на такая, что D биоднозначно преобразуется в некоторую область причем преобразование в обе стороны выражается функциями, имеющими непрерывные производные до порядка l в соответствующей замкнутой области. Если у функций совершить указанную замену независимых переменных, то при этом пространство переходит в

Из определения пространства непосредственно следует, что если , то при Докажем в связи с этим следующую теорему.

Теорема 1. Если U есть множество элементов ограниченное в то оно компактно в где — любая область, лежащая строго внутри D. Докажем сначала теорему при . По условию существует такая постоянная С, что, если то

Надо доказать, что множество U компактно в , где D — фиксированная область, лежащая строго внутри D. Ограниченность U в непосредственно следует из (146). Остается доказать равностепенную непрерывность в среднем функций Мы докажем, что для достаточно малых имеет место неравенство:

где постоянная, одна и та же для всех откуда и следует упомянутая равностепенная непрерывность.

Поворачивая, если нужно, оси координат, мы можем считать, что есть . Пусть D" есть область того же типа, что и находится строго внутри Величину будем считать настолько малой, что не выходит из области когда . Предположим сперва, что функция непрерывно дифференцируема в D. Очевидно,

При внутренний интеграл оцениваем по неравенству Гёльдера:

Откуда

При эта оценка непосредственно получается перестановкой порядка интегрирования. Неравенство (148) справедливо не только для непрерывно дифференцируемых функций, но и для любой функции из . В этом легко убедиться, выбирая последовательность сходящихся к непрерывно дифференцируемых функций и переходя к пределу в (148). Вместе с (146) оценка (148) приводит к неравенству (147). Теорема тем самым доказана при Положим теперь, что . Принимая во внимание, что, например, есть обобщенная производная по применяя теорему при докажем ее и для . Аналогично рассматривается и случай любого

Отметим еще одну теорему, которая непосредственно следует из теоремы, доказанной в [IV; 156].

Теорема 2. Если последовательность функций непрерывных и имеющих непрерывные производные до порядка сходится в , где — любая область, лежащая строго внутри D, то сходится равномерно в любой области

Из сказанного непосредственно следует, что предельная функция непрерывна внутри D. Положим теперь, что мы имеем некоторую функцию причем средние для причем радиус усреднения стремится к нулю при Принимая во внимание свойство средних функций от обобщенных производных [109] и теорему 2, мы приходим к следующему утверждению: если эквивалентна непрерывной в функции.

Положим теперь, что последовательность функций сходится в Исследуем эти функции на каком-либо сечении области D. Пусть D — цилиндр, определяемый условиями: конечное число) и принадлежит замыканию g некоторой конечной области g плоскости Сечения D плоскостями будем обозначать

Теорема 3. Пусть непрерывны и имеют непрерывную производную в D и как так и сходятся в Тогда сходятся в равномерно относительно из , предельная функция из определяется этим на всех сечениях и как элемент непрерывно зависит от . Сначала докажем утверждение теоремы для . Возьмем непрерывно дифференцируемую на промежутке [0, а] функцию равную нулю при и единице при Непосредственно проверяется, что функции и сходятся в

Пользуясь формулой

и неравенством Гёльдера, получим

Отсюда следует, что сходятся в норме равномерно относительно к некоторой функции Тем самым, в силу при мы получаем для предельную функцию определенную на каждом сечении если

. Это утверждение доказывается совершенно аналогично и для и очевидно, что эта предельная функция определенная на всех сечениях будет предельной для . Остается доказать непрерывную зависимость как элемента от т. е. доказать, что

Мы имеем, в силу неравенства Гёльдера:

и в пределе

откуда и следует требуемое соотношение при . То же имеет место и для .

Замечание. В теореме условие непрерывности производных можно ослабить, потребовав лишь наличия обобщенных производных из . В этом случае равенство (149) будет иметь место [110] для всех и почти всех из g, и все дальнейшие рассуждения сохраняют свою силу. Предел в будет, очевидно, обобщенной производной — в

Из доказанной теоремы и свойств обобщенных производных следует, что если функция задана, например, в кубе и принадлежит вместе с обобщенной

производной то она эквивалентна функции, определенной на каждом сечении куба Q плоскостью принадлежащей на этих сечениях и непрерывно зависящей от в норме . Это следует из того, что такую функцию можно аппроксимировать [111] непрерывно дифференцируемыми в Q функциями так, как это указано в условиях теоремы. В частности, будут существовать в указанном смысле и предельные значения на гранях куба .

Положим теперь, что функция задана в некоторой ограниченной области D и принадлежит . Пусть далее граница D содержит гладкий кусок размерности Отобразим часть примыкающую к , с помощью непрерывно дифференцируемого вплоть до границы преобразования в параллелепипед (считается, что таково, что указанное преобразование возможно). Если

есть уравнение S, и точки удовлетворяющие условиям а принадлежат D, то в качестве новых переменных можно взять

Параллелепипед определится неравенствами:

у. В новых переменных будет принадлежать где Q — упомянутый параллелепипед, и для нее будет справедливо сказанное выше.

В частности, при приближении к грани Т куба Q, являющейся образом куска , значение функции будет приближаться в норме к значениям на самой грани. В старых координатах это означает, что значения на и значения на „соответствующим образом сдвинутых поверхностях близки друг к другу в смысле нормы . В этом смысле для функций из можно говорить о их значениях на гладких поверхностях размерности (в частности, о их значениях на гладких кусках границы размерности ) и о непрерывном принятии этих значений.

Покажем сейчас, что для функций пространства при указанных ниже условиях справедлива обычная формула интегрирования по частям

где n — внешняя нормаль к границе области D. Предположим, о область D можно разбить на конечное число областей каждая

из которых звездна но отношению к какой-нибудь своей точке и имеет кусочно-гладкую границу. Если мы докажем справедливость формулы (150) для каждой из то, складывая эти равенства по всем убедимся в справедливости (150) и для всей области

Итак, пусть D звездна и .

В силу теоремы из [111] существуют последовательности непрерывно дифференцируемых в D функций сходящиеся к соответственно. В силу теоремы Для функций формула (150) справедлива. Переходя в ней к пределу по k, мы и убедимся в справедливости (150) для

При решении предельных задач математической физики рассматривают некоторые подпространства пространств состоящие из элементов, удовлетворяющих каким-либо однородным предельным условиям. Впервые они были введены К. Фридрихсом (см. Гильберт — Курант, «Методы математической физики», т. И, гл. VII). Пусть D, как и выше, — ограниченная область пространства Обозначим множество всех финитных непрерывных и непрерывно дифференцируемых до порядка I в D функций. В этом линеале введем норму и результат замыкания по этой норме обозначим через . Если то мы имеем но определению обобщенных производных:

Принимая во внимание, что элементы суть пределы элементов из в норме мы можем утверждать, что формула (151) имеет место для любых Очевидно, что входит в Нетрудно видеть, что есть правильная часть Действительно, рассмотрим, например, случай Напишем формулу интегрирования по частям

где непрерывно дифференцируемые в D функции. В имеются функции указанного типа, не равные нулю на и для них, при соответствующем выборе интеграл по S будет отличным от нуля. Для любой же функции из

имеет место формула (151) при в которой интеграл по поверхности отсутствует.

Формула (151), ввиду произвольности Дает нам право говорить, что функции из обращаются в нуль на границе вместе со своими производными до порядка

Если граница области обладает достаточной гладкостью, то и ее производные до порядка стремятся к нулю в норме при приближении к S, как это указано выше.

В общем случае указанное предельное условие имеет место лишь в том смысле, что для любых имеет место формула (151). При рассмотрении пространства гладкость границы не играет существенной роли, ибо, поместив D внутрь некоторого шара и доопределив нулем (вне D), получим Такое распространение функций из дает возможность делать более полные заключения без введения областей находящихся строго внутри D. В частности: 1) функции из можно аппроксимировать в норме бесконечно дифференцируемыми финитными в D функциями; 2) если то эквивалентна непрерывной в функции, равной нулю на границе

В заключение покажем, что замыкание функций из дает все пространство . Иначе говоря, в пространстве гладкие финитные функции образуют плотное множество.

Действительно, пусть есть множество точек, расстояние которых до границы D не меньше b и для любой

Очевидно, функции плотны в так как при

Построим средние для функции при . Это гладкие финитные в D функции, сходящиеся в при Эти функции образуют плотное в множество. Таким образом, мы показали, что пространства совпадают.