117. Теоремы вложения.

Вернемся к рассмотрению интегрального представления (188). Внеингегральные члены правой части (188) являются вполне непрерывными операторами из в . Действительно, любая функция переводится таким оператором в одну и ту же непрерывную

в D функцию умноженную на число представляющее собой непрерывный в функционал. Если множество функций и ограничено в то из чисел можно выбрать сходящуюся последовательность. Соответствующая последовательность функций сходится в D равномерно. К интегральным членам (188) применимы теоремы 1 или 2 из [115]. Таким образом, мы непосредственно получаем следующие две теоремы вложения [115].

Теорема 1. Если , то всякая функция и непрерывна в и оператор вложения ограничен постоянная)

и вполне непрерывен, т. е. преобразует всякое множество функций, ограниченное в в компактное множество в

Теорема 2. Пусть . Тогда функции из на всяком плоском -мерном сечении области D принадлежат при любом

Оператор вложения ограничен и вполне непрерывен. Как элемент функция и непрерывна в метрике по отношению к параллельному сдвигу сечения если последний допустим.

Замечания 1. Функции и из определяются с точностью до эквивалентности, и утверждение теоремы о поведении и на сечениях относится к некоторому выбору из класса эквивалентных Отметим, что формула (188) определяет, как это следует из предыдущего, такую именно функцию.

2. Если в теореме 2 заменить на то, как можно доказать, утверждения теоремы останутся справедливыми до слова «ограничен» включительно.

3. Если в D взять -мерное многообразие может лежать и на границе D), которое может быть преобразовано (хотя бы по кускам) в плоское при помощи раз непрерывно дифференцируемой и однозначно обратимой замены переменных , то теорема 2 остается справедливой при замене на При этом требуется, чтобы указанная замена переменных была определена в некоторой -мерной окрестности

Мы уже отмечали, что для функций и обобщенные производные порядка выражаются формулами, аналогичными (188), через производные порядка с помощью интегральных операторов с полярностью порядка Применяя теоремы из [115], получаем, как и выше, следующие теоремы:

Теорема 3. Если , то у функций и обобщенные производные порядка непрерывны в D, и оператор вложения из в ограничен и вполне непрерывен.

Теорема 4. Если , то у функций и обобщенные производные порядка принадлежат на

s — мерных плоских сечениях области D при любых

причем

в) для ограниченного в множества функций и множество компактно в

с) функции в метрике непрерывны относительно допустимого параллельного переноса

К теореме 4 можно сделать замечания, аналогичные замечаниям к теореме 2.

Перейдем теперь к доказательству теоремы 3 из [114] относительно эквивалентных норм в . Напомним соответствующую формулировку.

Пусть линейные ограниченные в функционалы таковы, что они не обращаются одновременно в нуль ни на одном отличном от тождественного нуля полинома степени не выше . Тогда норма в определяемая формулой

эквивалентна норме (191)

Доказательство. Очевидно, норма (197) оценивается через норму (191), ввиду ограниченности в последней норме функционалов

Перейдем к доказательству обратного неравенства. Будем временно обозначать норму (197) просто и норму (191), эквивалентную норме (145), через

Нам нужно показать, что для всех функций из справедлива оценка

Предположим обратное, т. е., что существует такая бесконечная последовательность положительных чисел и элементов из что при и

Вводя в постоянные множители, можем считать

Из (199) и (200) вытекает, что при и, следовательно, все обобщенные производные порядка функций сходятся в к нулю. В силу (200) и теоремы 2 последовательность компактна в . Выделим из нее сходящуюся подпоследовательность, которую обозначим снова через и пусть при Из теоремы 2 [109]

теперь вытекает, что все обобщенные производные порядка от существуют и равны нулю. Заметим также, что сходится к в смысле нормы (191). Покажем теперь, что Рассмотрим какую-либо строго внутреннюю подобласть U области D. В D производные от средних функций при достаточно малом h совпадают [109] со средними функциями от производных Отсюда непосредственно следует, что все производные порядка от средних функций равны нулю в D и, тем самым, суть полиномы от степени не выше в соответствующей подобласти. Поскольку множество таких полиномов образует подпространство в то мы видим, что есть некоторый полином степени не выше в любой внутренней подобласти, а значит и всюду в D. Заметим теперь, что в силу непрерывности функционалов при же время из (199) и (200) следует, что при . Мы получаем, таким образом, что и, по условию доказываемой теоремы, Последнее, однако, противоречит (200) и сходимости в . Теорема доказана. Приведем теперь несколько простых примеров использования доказанных теорем.

1. Пусть т. е. функция и вместе со своими обобщенными производными до второго порядка включительно суммируема по квадратом. При из теоремы 1 следует, что и непрерывна в D. При это утверждение может оказаться неверным.

2) Норма (162) в полученная нами с помощью теоремы 3 в [114], приводит при к известному неравенству Пуанкаре:

3) Аналогичным образом норма (164) при и дает:

Здесь S — достаточно гладкое -мерное многообразие в D. В частности, если граница области D — кусочно-гладкая, то она может быть взята в (202) в качестве многообразия S. В этом последнем случае неравенство (202) известно, как неравенство Фридрихса.